Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 16238 / 15502
↖ ↑ ↗
← N 79.617128°
W135.401001°		 ← 55.05 m → N 79.617128°
W135.398254°		 →
↑
55.05 m
↓
↑
55.05 m
↓
N 79.616633°
W135.401001°		 ← 55.05 m →
3 030 m²		 N 79.616633°
W135.398254°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16238 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15502 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.123889923095703 y=0.118274688720703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.123889923095703 × 217)
    floor (0.123889923095703 × 131072)
    floor (16238.5)     		tx = 16238
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.118274688720703 × 217)
    floor (0.118274688720703 × 131072)
    floor (15502.5)     		ty = 15502
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16238 / 15502 ti = "17/16238/15502"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16238/15502.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16238 ÷ 217
    16238 ÷ 131072     		x = 0.123886108398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15502 ÷ 217
    15502 ÷ 131072     		y = 0.118270874023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.123886108398438 × 2 - 1) × π
    -0.752227783203125 × 3.1415926535     		Λ = -2.36319328
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.118270874023438 × 2 - 1) × π
    0.763458251953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.39847483558989
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.36319328} λ = -2.36319328}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39847483558989))-π/2
    2×atan(11.0063770384753)-π/2
    2×1.48018868036394-π/2
    2.96037736072788-1.57079632675     		φ = 1.38958103
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.36319328} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -135.401001°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38958103 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.617128°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16238 KachelY 15502 -2.36319328 1.38958103 -135.401001 79.617128
    Oben rechts KachelX + 1 16239 KachelY 15502 -2.36314534 1.38958103 -135.398254 79.617128
    Unten links KachelX 16238 KachelY + 1 15503 -2.36319328 1.38957239 -135.401001 79.616633
    Unten rechts KachelX + 1 16239 KachelY + 1 15503 -2.36314534 1.38957239 -135.398254 79.616633
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38958103-1.38957239) × R
    8.63999999989318e-06 × 6371000     		dl = 55.0454399993194m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38958103-1.38957239) × R
    8.63999999989318e-06 × 6371000     		dr = 55.0454399993194m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.36319328--2.36314534) × cos(1.38958103) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.180225103009511 × 6371000     		do = 55.0453854532199m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.36319328--2.36314534) × cos(1.38957239) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.180233601526172 × 6371000     		du = 55.0479811189603m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38958103)-sin(1.38957239))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.180225103009511-0.180233601526172)×R²
    abs(-2.36314534--2.36319328)×8.49851666179235e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.49851666179235e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.49851666179235e-06×40589641000000     		ar = 3030.06890215534m²