Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16237 / 15506
↖ ↑ ↗
← N 79.615148°
W135.403747°		 ← 55.04 m → N 79.615148°
W135.401001°		 →
↑
55.05 m
↓
↑
55.05 m
↓
N 79.614653°
W135.403747°		 ← 55.05 m →
3 030 m²		 N 79.614653°
W135.401001°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16237 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15506 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.123882293701172 y=0.118305206298828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.123882293701172 × 217)
    floor (0.123882293701172 × 131072)
    floor (16237.5)     		tx = 16237
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.118305206298828 × 217)
    floor (0.118305206298828 × 131072)
    floor (15506.5)     		ty = 15506
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16237 / 15506 ti = "17/16237/15506"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16237/15506.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16237 ÷ 217
    16237 ÷ 131072     		x = 0.123878479003906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15506 ÷ 217
    15506 ÷ 131072     		y = 0.118301391601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.123878479003906 × 2 - 1) × π
    -0.752243041992188 × 3.1415926535     		Λ = -2.36324121
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.118301391601562 × 2 - 1) × π
    0.763397216796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.39828308799141
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.36324121} λ = -2.36324121}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39828308799141))-π/2
    2×atan(11.0042667944338)-π/2
    2×1.4801713998694-π/2
    2.96034279973881-1.57079632675     		φ = 1.38954647
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.36324121} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -135.403747°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38954647 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.615148°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16237 KachelY 15506 -2.36324121 1.38954647 -135.403747 79.615148
    Oben rechts KachelX + 1 16238 KachelY 15506 -2.36319328 1.38954647 -135.401001 79.615148
    Unten links KachelX 16237 KachelY + 1 15507 -2.36324121 1.38953783 -135.403747 79.614653
    Unten rechts KachelX + 1 16238 KachelY + 1 15507 -2.36319328 1.38953783 -135.401001 79.614653
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38954647-1.38953783) × R
    8.63999999989318e-06 × 6371000     		dl = 55.0454399993194m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38954647-1.38953783) × R
    8.63999999989318e-06 × 6371000     		dr = 55.0454399993194m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.36324121--2.36319328) × cos(1.38954647) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.18025909699543 × 6371000     		do = 55.044283784525m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.36324121--2.36319328) × cos(1.38953783) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.18026759545827 × 6371000     		du = 55.0468788923899m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38954647)-sin(1.38953783))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.18025909699543-0.18026759545827)×R²
    abs(-2.36319328--2.36324121)×8.4984628405671e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.4984628405671e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.4984628405671e-06×40589641000000     		ar = 3030.00824502137m²