Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16236 / 7929
↖ ↑ ↗
← N 67.638497°
W  1.625976°		 ← 464.75 m → N 67.638497°
W  1.614990°		 →
↑
464.76 m
↓
↑
464.76 m
↓
N 67.634317°
W  1.625976°		 ← 464.83 m →
216 017 m²		 N 67.634317°
W  1.614990°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16236 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7929 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495498657226562 y=0.241989135742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495498657226562 × 215)
    floor (0.495498657226562 × 32768)
    floor (16236.5)     		tx = 16236
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.241989135742188 × 215)
    floor (0.241989135742188 × 32768)
    floor (7929.5)     		ty = 7929
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16236 / 7929 ti = "15/16236/7929"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16236/7929.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16236 ÷ 215
    16236 ÷ 32768     		x = 0.4954833984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7929 ÷ 215
    7929 ÷ 32768     		y = 0.241973876953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4954833984375 × 2 - 1) × π
    -0.009033203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.02837864
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.241973876953125 × 2 - 1) × π
    0.51605224609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.6212259451503
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02837864} λ = -0.02837864}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.6212259451503))-π/2
    2×atan(5.0592889269333)-π/2
    2×1.37565539974023-π/2
    2.75131079948045-1.57079632675     		φ = 1.18051447
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02837864} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.625976°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18051447 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.638497°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16236 KachelY 7929 -0.02837864 1.18051447 -1.625976 67.638497
    Oben rechts KachelX + 1 16237 KachelY 7929 -0.02818690 1.18051447 -1.614990 67.638497
    Unten links KachelX 16236 KachelY + 1 7930 -0.02837864 1.18044152 -1.625976 67.634317
    Unten rechts KachelX + 1 16237 KachelY + 1 7930 -0.02818690 1.18044152 -1.614990 67.634317
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18051447-1.18044152) × R
    7.29500000000716e-05 × 6371000     		dl = 464.764450000456m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18051447-1.18044152) × R
    7.29500000000716e-05 × 6371000     		dr = 464.764450000456m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02837864--0.02818690) × cos(1.18051447) × R
    0.000191739999999999 × 0.38044909192119 × 6371000     		do = 464.747304906135m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02837864--0.02818690) × cos(1.18044152) × R
    0.000191739999999999 × 0.380516555204822 × 6371000     		du = 464.829716403268m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18051447)-sin(1.18044152))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.38044909192119-0.380516555204822)×R²
    abs(-0.02818690--0.02837864)×6.74632836321076e-05×R²
    0.000191739999999999×6.74632836321076e-05×6371000²
    0.000191739999999999×6.74632836321076e-05×40589641000000     		ar = 216017.176616691m²