Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16230 / 17272
↖ ↑ ↗
← S  9.709057°
W  1.691895°		 ← 1 204.14 m → S  9.709057°
W  1.680908°		 →
↑
1 204.12 m
↓
↑
1 204.12 m
↓
S  9.719886°
W  1.691895°		 ← 1 204.10 m →
1 449 906 m²		 S  9.719886°
W  1.680908°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16230 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17272 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495315551757812 y=0.527114868164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495315551757812 × 215)
    floor (0.495315551757812 × 32768)
    floor (16230.5)     		tx = 16230
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.527114868164062 × 215)
    floor (0.527114868164062 × 32768)
    floor (17272.5)     		ty = 17272
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16230 / 17272 ti = "15/16230/17272"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16230/17272.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16230 ÷ 215
    16230 ÷ 32768     		x = 0.49530029296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17272 ÷ 215
    17272 ÷ 32768     		y = 0.527099609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49530029296875 × 2 - 1) × π
    -0.0093994140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.02952913
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.527099609375 × 2 - 1) × π
    -0.05419921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.170271867450439
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02952913} λ = -0.02952913}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.170271867450439))-π/2
    2×atan(0.843435482769284)-π/2
    2×0.700670656844138-π/2
    1.40134131368828-1.57079632675     		φ = -0.16945501
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02952913} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.691895°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16945501 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.709057°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16230 KachelY 17272 -0.02952913 -0.16945501 -1.691895 -9.709057
    Oben rechts KachelX + 1 16231 KachelY 17272 -0.02933738 -0.16945501 -1.680908 -9.709057
    Unten links KachelX 16230 KachelY + 1 17273 -0.02952913 -0.16964401 -1.691895 -9.719886
    Unten rechts KachelX + 1 16231 KachelY + 1 17273 -0.02933738 -0.16964401 -1.680908 -9.719886
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16945501--0.16964401) × R
    0.000189000000000022 × 6371000     		dl = 1204.11900000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16945501--0.16964401) × R
    0.000189000000000022 × 6371000     		dr = 1204.11900000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02952913--0.02933738) × cos(-0.16945501) × R
    0.000191750000000001 × 0.985676823227132 × 6371000     		do = 1204.14149506958m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02952913--0.02933738) × cos(-0.16964401) × R
    0.000191750000000001 × 0.985644931681707 × 6371000     		du = 1204.10253510595m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16945501)-sin(-0.16964401))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.985676823227132-0.985644931681707)×R²
    abs(-0.02933738--0.02952913)×3.18915454250446e-05×R²
    0.000191750000000001×3.18915454250446e-05×6371000²
    0.000191750000000001×3.18915454250446e-05×40589641000000     		ar = 1449906.2010018m²