Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1623 / 1550
↖ ↑ ↗
← S 67.474922°
E105.292969°		 ← 7 487.85 m → S 67.474922°
E105.468750°		 →
↑
7 477.20 m
↓
↑
7 477.20 m
↓
S 67.542167°
E105.292969°		 ← 7 466.65 m →
55 908 876 m²		 S 67.542167°
E105.468750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1623 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1550 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.792724609375 y=0.757080078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.792724609375 × 211)
    floor (0.792724609375 × 2048)
    floor (1623.5)     		tx = 1623
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.757080078125 × 211)
    floor (0.757080078125 × 2048)
    floor (1550.5)     		ty = 1550
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1623 / 1550 ti = "11/1623/1550"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1623/1550.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1623 ÷ 211
    1623 ÷ 2048     		x = 0.79248046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1550 ÷ 211
    1550 ÷ 2048     		y = 0.7568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.79248046875 × 2 - 1) × π
    0.5849609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.83770898
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7568359375 × 2 - 1) × π
    -0.513671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.61374778880957
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.83770898} λ = 1.83770898}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61374778880957))-π/2
    2×atan(0.199139879562679)-π/2
    2×0.196568384335204-π/2
    0.393136768670409-1.57079632675     		φ = -1.17765956
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.83770898} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.292969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17765956 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.474922°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1623 KachelY 1550 1.83770898 -1.17765956 105.292969 -67.474922
    Oben rechts KachelX + 1 1624 KachelY 1550 1.84077695 -1.17765956 105.468750 -67.474922
    Unten links KachelX 1623 KachelY + 1 1551 1.83770898 -1.17883319 105.292969 -67.542167
    Unten rechts KachelX + 1 1624 KachelY + 1 1551 1.84077695 -1.17883319 105.468750 -67.542167
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17765956--1.17883319) × R
    0.00117363000000004 × 6371000     		dl = 7477.19673000023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17765956--1.17883319) × R
    0.00117363000000004 × 6371000     		dr = 7477.19673000023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.83770898-1.84077695) × cos(-1.17765956) × R
    0.00306797000000003 × 0.383087763999222 × 6371000     		do = 7487.84755957473m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.83770898-1.84077695) × cos(-1.17883319) × R
    0.00306797000000003 × 0.382003404359244 × 6371000     		du = 7466.65262607137m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17765956)-sin(-1.17883319))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.383087763999222-0.382003404359244)×R²
    abs(1.84077695-1.83770898)×0.00108435963997855×R²
    0.00306797000000003×0.00108435963997855×6371000²
    0.00306797000000003×0.00108435963997855×40589641000000     		ar = 55908876.3609018m²