Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16227 / 7971
↖ ↑ ↗
← N 67.462293°
W  1.724853°		 ← 468.22 m → N 67.462293°
W  1.713867°		 →
↑
468.27 m
↓
↑
468.27 m
↓
N 67.458082°
W  1.724853°		 ← 468.30 m →
219 272 m²		 N 67.458082°
W  1.713867°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16227 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7971 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495223999023438 y=0.243270874023438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495223999023438 × 215)
    floor (0.495223999023438 × 32768)
    floor (16227.5)     		tx = 16227
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.243270874023438 × 215)
    floor (0.243270874023438 × 32768)
    floor (7971.5)     		ty = 7971
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16227 / 7971 ti = "15/16227/7971"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16227/7971.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16227 ÷ 215
    16227 ÷ 32768     		x = 0.495208740234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7971 ÷ 215
    7971 ÷ 32768     		y = 0.243255615234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.495208740234375 × 2 - 1) × π
    -0.00958251953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.03010437
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.243255615234375 × 2 - 1) × π
    0.51348876953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.61317254601413
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03010437} λ = -0.03010437}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.61317254601413))-π/2
    2×atan(5.01870808006794)-π/2
    2×1.3741177289431-π/2
    2.74823545788619-1.57079632675     		φ = 1.17743913
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03010437} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.724853°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17743913 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.462293°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16227 KachelY 7971 -0.03010437 1.17743913 -1.724853 67.462293
    Oben rechts KachelX + 1 16228 KachelY 7971 -0.02991263 1.17743913 -1.713867 67.462293
    Unten links KachelX 16227 KachelY + 1 7972 -0.03010437 1.17736563 -1.724853 67.458082
    Unten rechts KachelX + 1 16228 KachelY + 1 7972 -0.02991263 1.17736563 -1.713867 67.458082
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17743913-1.17736563) × R
    7.35000000000596e-05 × 6371000     		dl = 468.26850000038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17743913-1.17736563) × R
    7.35000000000596e-05 × 6371000     		dr = 468.26850000038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03010437--0.02991263) × cos(1.17743913) × R
    0.000191739999999999 × 0.383291368515534 × 6371000     		do = 468.2193604717m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03010437--0.02991263) × cos(1.17736563) × R
    0.000191739999999999 × 0.383359254100134 × 6371000     		du = 468.302287841367m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17743913)-sin(1.17736563))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.383291368515534-0.383359254100134)×R²
    abs(-0.02991263--0.03010437)×6.78855846003579e-05×R²
    0.000191739999999999×6.78855846003579e-05×6371000²
    0.000191739999999999×6.78855846003579e-05×40589641000000     		ar = 219271.793835354m²