Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16226 / 7933
↖ ↑ ↗
← N 67.621772°
W  1.735840°		 ← 465.10 m → N 67.621772°
W  1.724853°		 →
↑
465.15 m
↓
↑
465.15 m
↓
N 67.617589°
W  1.735840°		 ← 465.18 m →
216 360 m²		 N 67.617589°
W  1.724853°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16226 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7933 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495193481445312 y=0.242111206054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495193481445312 × 215)
    floor (0.495193481445312 × 32768)
    floor (16226.5)     		tx = 16226
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.242111206054688 × 215)
    floor (0.242111206054688 × 32768)
    floor (7933.5)     		ty = 7933
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16226 / 7933 ti = "15/16226/7933"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16226/7933.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16226 ÷ 215
    16226 ÷ 32768     		x = 0.49517822265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7933 ÷ 215
    7933 ÷ 32768     		y = 0.242095947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49517822265625 × 2 - 1) × π
    -0.0096435546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.03029612
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.242095947265625 × 2 - 1) × π
    0.51580810546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.62045895475638
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03029612} λ = -0.03029612}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.62045895475638))-π/2
    2×atan(5.05540998867062)-π/2
    2×1.37550944758697-π/2
    2.75101889517393-1.57079632675     		φ = 1.18022257
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03029612} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.735840°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18022257 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.621772°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16226 KachelY 7933 -0.03029612 1.18022257 -1.735840 67.621772
    Oben rechts KachelX + 1 16227 KachelY 7933 -0.03010437 1.18022257 -1.724853 67.621772
    Unten links KachelX 16226 KachelY + 1 7934 -0.03029612 1.18014956 -1.735840 67.617589
    Unten rechts KachelX + 1 16227 KachelY + 1 7934 -0.03010437 1.18014956 -1.724853 67.617589
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18022257-1.18014956) × R
    7.3009999999929e-05 × 6371000     		dl = 465.146709999547m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18022257-1.18014956) × R
    7.3009999999929e-05 × 6371000     		dr = 465.146709999547m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03029612--0.03010437) × cos(1.18022257) × R
    0.000191750000000001 × 0.380719025373386 × 6371000     		do = 465.101304617876m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03029612--0.03010437) × cos(1.18014956) × R
    0.000191750000000001 × 0.380786536031881 × 6371000     		du = 465.183778288088m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18022257)-sin(1.18014956))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.380719025373386-0.380786536031881)×R²
    abs(-0.03010437--0.03029612)×6.75106584958063e-05×R²
    0.000191750000000001×6.75106584958063e-05×6371000²
    0.000191750000000001×6.75106584958063e-05×40589641000000     		ar = 216359.522933501m²