Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16224 / 15559
↖ ↑ ↗
← N 79.588875°
W135.439453°		 ← 55.18 m → N 79.588875°
W135.436707°		 →
↑
55.17 m
↓
↑
55.17 m
↓
N 79.588379°
W135.439453°		 ← 55.18 m →
3 045 m²		 N 79.588379°
W135.436707°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16224 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15559 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.123783111572266 y=0.118709564208984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.123783111572266 × 217)
    floor (0.123783111572266 × 131072)
    floor (16224.5)     		tx = 16224
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.118709564208984 × 217)
    floor (0.118709564208984 × 131072)
    floor (15559.5)     		ty = 15559
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16224 / 15559 ti = "17/16224/15559"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16224/15559.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16224 ÷ 217
    16224 ÷ 131072     		x = 0.123779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15559 ÷ 217
    15559 ÷ 131072     		y = 0.118705749511719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.123779296875 × 2 - 1) × π
    -0.75244140625 × 3.1415926535     		Λ = -2.36386439
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.118705749511719 × 2 - 1) × π
    0.762588500976562 × 3.1415926535     		Φ = 2.39574243231155
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.36386439} λ = -2.36386439}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39574243231155))-π/2
    2×atan(10.976344227334)-π/2
    2×1.47994212536831-π/2
    2.95988425073662-1.57079632675     		φ = 1.38908792
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.36386439} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -135.439453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38908792 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.588875°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16224 KachelY 15559 -2.36386439 1.38908792 -135.439453 79.588875
    Oben rechts KachelX + 1 16225 KachelY 15559 -2.36381646 1.38908792 -135.436707 79.588875
    Unten links KachelX 16224 KachelY + 1 15560 -2.36386439 1.38907926 -135.439453 79.588379
    Unten rechts KachelX + 1 16225 KachelY + 1 15560 -2.36381646 1.38907926 -135.436707 79.588379
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38908792-1.38907926) × R
    8.65999999999367e-06 × 6371000     		dl = 55.1728599999597m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38908792-1.38907926) × R
    8.65999999999367e-06 × 6371000     		dr = 55.1728599999597m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.36386439--2.36381646) × cos(1.38908792) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.180710116595478 × 6371000     		do = 55.1820080451657m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.36386439--2.36381646) × cos(1.38907926) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.180718634013942 × 6371000     		du = 55.1846089413581m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38908792)-sin(1.38907926))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.180710116595478-0.180718634013942)×R²
    abs(-2.36381646--2.36386439)×8.51741846363829e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.51741846363829e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.51741846363829e-06×40589641000000     		ar = 3044.62095390946m²