Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16222 / 17283
↖ ↑ ↗
← S  9.828154°
W  1.779785°		 ← 1 203.71 m → S  9.828154°
W  1.768799°		 →
↑
1 203.74 m
↓
↑
1 203.74 m
↓
S  9.838980°
W  1.779785°		 ← 1 203.67 m →
1 448 927 m²		 S  9.838980°
W  1.768799°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16222 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17283 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495071411132812 y=0.527450561523438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495071411132812 × 215)
    floor (0.495071411132812 × 32768)
    floor (16222.5)     		tx = 16222
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.527450561523438 × 215)
    floor (0.527450561523438 × 32768)
    floor (17283.5)     		ty = 17283
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16222 / 17283 ti = "15/16222/17283"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16222/17283.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16222 ÷ 215
    16222 ÷ 32768     		x = 0.49505615234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17283 ÷ 215
    17283 ÷ 32768     		y = 0.527435302734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49505615234375 × 2 - 1) × π
    -0.0098876953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.03106311
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.527435302734375 × 2 - 1) × π
    -0.05487060546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.172381091033722
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03106311} λ = -0.03106311}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.172381091033722))-π/2
    2×atan(0.841658363587735)-π/2
    2×0.699631336052385-π/2
    1.39926267210477-1.57079632675     		φ = -0.17153365
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03106311} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.779785°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17153365 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.828154°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16222 KachelY 17283 -0.03106311 -0.17153365 -1.779785 -9.828154
    Oben rechts KachelX + 1 16223 KachelY 17283 -0.03087136 -0.17153365 -1.768799 -9.828154
    Unten links KachelX 16222 KachelY + 1 17284 -0.03106311 -0.17172259 -1.779785 -9.838980
    Unten rechts KachelX + 1 16223 KachelY + 1 17284 -0.03087136 -0.17172259 -1.768799 -9.838980
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17153365--0.17172259) × R
    0.000188939999999999 × 6371000     		dl = 1203.73673999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17153365--0.17172259) × R
    0.000188939999999999 × 6371000     		dr = 1203.73673999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03106311--0.03087136) × cos(-0.17153365) × R
    0.000191750000000001 × 0.985324141413602 × 6371000     		do = 1203.71064512341m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03106311--0.03087136) × cos(-0.17172259) × R
    0.000191750000000001 × 0.985291872960495 × 6371000     		du = 1203.67122471456m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17153365)-sin(-0.17172259))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.985324141413602-0.985291872960495)×R²
    abs(-0.03087136--0.03106311)×3.22684531064432e-05×R²
    0.000191750000000001×3.22684531064432e-05×6371000²
    0.000191750000000001×3.22684531064432e-05×40589641000000     		ar = 1448927.0062773m²