Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16221 / 19241
↖ ↑ ↗
← S 29.926374°
W  1.790772°		 ← 1 058.75 m → S 29.926374°
W  1.779785°		 →
↑
1 058.73 m
↓
↑
1 058.73 m
↓
S 29.935895°
W  1.790772°		 ← 1 058.65 m →
1 120 885 m²		 S 29.935895°
W  1.779785°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16221 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19241 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495040893554688 y=0.587203979492188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495040893554688 × 215)
    floor (0.495040893554688 × 32768)
    floor (16221.5)     		tx = 16221
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.587203979492188 × 215)
    floor (0.587203979492188 × 32768)
    floor (19241.5)     		ty = 19241
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16221 / 19241 ti = "15/16221/19241"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16221/19241.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16221 ÷ 215
    16221 ÷ 32768     		x = 0.495025634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19241 ÷ 215
    19241 ÷ 32768     		y = 0.587188720703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.495025634765625 × 2 - 1) × π
    -0.00994873046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.03125486
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.587188720703125 × 2 - 1) × π
    -0.17437744140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.547822888858002
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03125486} λ = -0.03125486}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.547822888858002))-π/2
    2×atan(0.578207262550931)-π/2
    2×0.52424128210373-π/2
    1.04848256420746-1.57079632675     		φ = -0.52231376
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03125486} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.790772°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52231376 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.926374°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16221 KachelY 19241 -0.03125486 -0.52231376 -1.790772 -29.926374
    Oben rechts KachelX + 1 16222 KachelY 19241 -0.03106311 -0.52231376 -1.779785 -29.926374
    Unten links KachelX 16221 KachelY + 1 19242 -0.03125486 -0.52247994 -1.790772 -29.935895
    Unten rechts KachelX + 1 16222 KachelY + 1 19242 -0.03106311 -0.52247994 -1.779785 -29.935895
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52231376--0.52247994) × R
    0.000166180000000016 × 6371000     		dl = 1058.7327800001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52231376--0.52247994) × R
    0.000166180000000016 × 6371000     		dr = 1058.7327800001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03125486--0.03106311) × cos(-0.52231376) × R
    0.000191750000000001 × 0.866667196388104 × 6371000     		do = 1058.75466379517m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03125486--0.03106311) × cos(-0.52247994) × R
    0.000191750000000001 × 0.866584279424621 × 6371000     		du = 1058.65336917809m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52231376)-sin(-0.52247994))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.866667196388104-0.866584279424621)×R²
    abs(-0.03106311--0.03125486)×8.29169634828375e-05×R²
    0.000191750000000001×8.29169634828375e-05×6371000²
    0.000191750000000001×8.29169634828375e-05×40589641000000     		ar = 1120884.64915198m²