Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 16220 / 19236
↖ ↑ ↗
← S 29.878756°
W  1.801758°		 ← 1 059.26 m → S 29.878756°
W  1.790772°		 →
↑
1 059.18 m
↓
↑
1 059.18 m
↓
S 29.888281°
W  1.801758°		 ← 1 059.16 m →
1 121 893 m²		 S 29.888281°
W  1.790772°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16220 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19236 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495010375976562 y=0.587051391601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495010375976562 × 215)
    floor (0.495010375976562 × 32768)
    floor (16220.5)     		tx = 16220
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.587051391601562 × 215)
    floor (0.587051391601562 × 32768)
    floor (19236.5)     		ty = 19236
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16220 / 19236 ti = "15/16220/19236"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16220/19236.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16220 ÷ 215
    16220 ÷ 32768     		x = 0.4949951171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19236 ÷ 215
    19236 ÷ 32768     		y = 0.5870361328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4949951171875 × 2 - 1) × π
    -0.010009765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.03144661
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5870361328125 × 2 - 1) × π
    -0.174072265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.546864150865601
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03144661} λ = -0.03144661}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.546864150865601))-π/2
    2×atan(0.578761877643819)-π/2
    2×0.524656834811115-π/2
    1.04931366962223-1.57079632675     		φ = -0.52148266
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03144661} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.801758°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52148266 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.878756°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16220 KachelY 19236 -0.03144661 -0.52148266 -1.801758 -29.878756
    Oben rechts KachelX + 1 16221 KachelY 19236 -0.03125486 -0.52148266 -1.790772 -29.878756
    Unten links KachelX 16220 KachelY + 1 19237 -0.03144661 -0.52164891 -1.801758 -29.888281
    Unten rechts KachelX + 1 16221 KachelY + 1 19237 -0.03125486 -0.52164891 -1.790772 -29.888281
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52148266--0.52164891) × R
    0.000166250000000034 × 6371000     		dl = 1059.17875000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52148266--0.52164891) × R
    0.000166250000000034 × 6371000     		dr = 1059.17875000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03144661--0.03125486) × cos(-0.52148266) × R
    0.000191749999999997 × 0.867081521787497 × 6371000     		do = 1059.26081996532m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03144661--0.03125486) × cos(-0.52164891) × R
    0.000191749999999997 × 0.866998689662495 × 6371000     		du = 1059.15962899026m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52148266)-sin(-0.52164891))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.867081521787497-0.866998689662495)×R²
    abs(-0.03125486--0.03144661)×8.28321250013753e-05×R²
    0.000191749999999997×8.28321250013753e-05×6371000²
    0.000191749999999997×8.28321250013753e-05×40589641000000     		ar = 1121892.96413376m²