Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16214 / 17295
↖ ↑ ↗
← S  9.958030°
W  1.867676°		 ← 1 203.23 m → S  9.958030°
W  1.856689°		 →
↑
1 203.23 m
↓
↑
1 203.23 m
↓
S  9.968851°
W  1.867676°		 ← 1 203.19 m →
1 447 741 m²		 S  9.968851°
W  1.856689°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16214 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17295 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494827270507812 y=0.527816772460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494827270507812 × 215)
    floor (0.494827270507812 × 32768)
    floor (16214.5)     		tx = 16214
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.527816772460938 × 215)
    floor (0.527816772460938 × 32768)
    floor (17295.5)     		ty = 17295
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16214 / 17295 ti = "15/16214/17295"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16214/17295.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16214 ÷ 215
    16214 ÷ 32768     		x = 0.49481201171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17295 ÷ 215
    17295 ÷ 32768     		y = 0.527801513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49481201171875 × 2 - 1) × π
    -0.0103759765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.03259709
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.527801513671875 × 2 - 1) × π
    -0.05560302734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.174682062215485
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03259709} λ = -0.03259709}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.174682062215485))-π/2
    2×atan(0.839723958307103)-π/2
    2×0.698497958385132-π/2
    1.39699591677026-1.57079632675     		φ = -0.17380041
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03259709} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.867676°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17380041 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.958030°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16214 KachelY 17295 -0.03259709 -0.17380041 -1.867676 -9.958030
    Oben rechts KachelX + 1 16215 KachelY 17295 -0.03240534 -0.17380041 -1.856689 -9.958030
    Unten links KachelX 16214 KachelY + 1 17296 -0.03259709 -0.17398927 -1.867676 -9.968851
    Unten rechts KachelX + 1 16215 KachelY + 1 17296 -0.03240534 -0.17398927 -1.856689 -9.968851
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17380041--0.17398927) × R
    0.000188860000000013 × 6371000     		dl = 1203.22706000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17380041--0.17398927) × R
    0.000188860000000013 × 6371000     		dr = 1203.22706000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03259709--0.03240534) × cos(-0.17380041) × R
    0.000191750000000004 × 0.984934688716997 × 6371000     		do = 1203.23487442324m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03259709--0.03240534) × cos(-0.17398927) × R
    0.000191750000000004 × 0.984902012206852 × 6371000     		du = 1203.1949555159m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17380041)-sin(-0.17398927))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984934688716997-0.984902012206852)×R²
    abs(-0.03240534--0.03259709)×3.26765101456017e-05×R²
    0.000191750000000004×3.26765101456017e-05×6371000²
    0.000191750000000004×3.26765101456017e-05×40589641000000     		ar = 1447740.74899027m²