Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16213 / 17290
↖ ↑ ↗
← S  9.903922°
W  1.878662°		 ← 1 203.43 m → S  9.903922°
W  1.867676°		 →
↑
1 203.35 m
↓
↑
1 203.35 m
↓
S  9.914744°
W  1.878662°		 ← 1 203.39 m →
1 448 134 m²		 S  9.914744°
W  1.867676°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16213 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17290 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494796752929688 y=0.527664184570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494796752929688 × 215)
    floor (0.494796752929688 × 32768)
    floor (16213.5)     		tx = 16213
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.527664184570312 × 215)
    floor (0.527664184570312 × 32768)
    floor (17290.5)     		ty = 17290
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16213 / 17290 ti = "15/16213/17290"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16213/17290.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16213 ÷ 215
    16213 ÷ 32768     		x = 0.494781494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17290 ÷ 215
    17290 ÷ 32768     		y = 0.52764892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494781494140625 × 2 - 1) × π
    -0.01043701171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.03278884
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52764892578125 × 2 - 1) × π
    -0.0552978515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.173723324223084
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03278884} λ = -0.03278884}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.173723324223084))-π/2
    2×atan(0.840529419620546)-π/2
    2×0.698970144609142-π/2
    1.39794028921828-1.57079632675     		φ = -0.17285604
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03278884} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.878662°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17285604 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.903922°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16213 KachelY 17290 -0.03278884 -0.17285604 -1.878662 -9.903922
    Oben rechts KachelX + 1 16214 KachelY 17290 -0.03259709 -0.17285604 -1.867676 -9.903922
    Unten links KachelX 16213 KachelY + 1 17291 -0.03278884 -0.17304492 -1.878662 -9.914744
    Unten rechts KachelX + 1 16214 KachelY + 1 17291 -0.03259709 -0.17304492 -1.867676 -9.914744
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17285604--0.17304492) × R
    0.000188880000000002 × 6371000     		dl = 1203.35448000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17285604--0.17304492) × R
    0.000188880000000002 × 6371000     		dr = 1203.35448000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03278884--0.03259709) × cos(-0.17285604) × R
    0.000191749999999997 × 0.985097556322991 × 6371000     		do = 1203.43383988324m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03278884--0.03259709) × cos(-0.17304492) × R
    0.000191749999999997 × 0.985065052047589 × 6371000     		du = 1203.39413138461m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17285604)-sin(-0.17304492))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.985097556322991-0.985065052047589)×R²
    abs(-0.03259709--0.03278884)×3.25042754016902e-05×R²
    0.000191749999999997×3.25042754016902e-05×6371000²
    0.000191749999999997×3.25042754016902e-05×40589641000000     		ar = 1448133.61521246m²