Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16213 / 17287
↖ ↑ ↗
← S  9.871452°
W  1.878662°		 ← 1 203.55 m → S  9.871452°
W  1.867676°		 →
↑
1 203.48 m
↓
↑
1 203.48 m
↓
S  9.882275°
W  1.878662°		 ← 1 203.51 m →
1 448 430 m²		 S  9.882275°
W  1.867676°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16213 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17287 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494796752929688 y=0.527572631835938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494796752929688 × 215)
    floor (0.494796752929688 × 32768)
    floor (16213.5)     		tx = 16213
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.527572631835938 × 215)
    floor (0.527572631835938 × 32768)
    floor (17287.5)     		ty = 17287
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16213 / 17287 ti = "15/16213/17287"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16213/17287.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16213 ÷ 215
    16213 ÷ 32768     		x = 0.494781494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17287 ÷ 215
    17287 ÷ 32768     		y = 0.527557373046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494781494140625 × 2 - 1) × π
    -0.01043701171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.03278884
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.527557373046875 × 2 - 1) × π
    -0.05511474609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.173148081427643
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03278884} λ = -0.03278884}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.173148081427643))-π/2
    2×atan(0.841013067207596)-π/2
    2×0.699253493747154-π/2
    1.39850698749431-1.57079632675     		φ = -0.17228934
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03278884} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.878662°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17228934 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.871452°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16213 KachelY 17287 -0.03278884 -0.17228934 -1.878662 -9.871452
    Oben rechts KachelX + 1 16214 KachelY 17287 -0.03259709 -0.17228934 -1.867676 -9.871452
    Unten links KachelX 16213 KachelY + 1 17288 -0.03278884 -0.17247824 -1.878662 -9.882275
    Unten rechts KachelX + 1 16214 KachelY + 1 17288 -0.03259709 -0.17247824 -1.867676 -9.882275
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17228934--0.17247824) × R
    0.000188899999999992 × 6371000     		dl = 1203.48189999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17228934--0.17247824) × R
    0.000188899999999992 × 6371000     		dr = 1203.48189999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03278884--0.03259709) × cos(-0.17228934) × R
    0.000191749999999997 × 0.985194868566861 × 6371000     		do = 1203.55272033985m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03278884--0.03259709) × cos(-0.17247824) × R
    0.000191749999999997 × 0.985162466305611 × 6371000     		du = 1203.51313646572m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17228934)-sin(-0.17247824))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.985194868566861-0.985162466305611)×R²
    abs(-0.03259709--0.03278884)×3.24022612501196e-05×R²
    0.000191749999999997×3.24022612501196e-05×6371000²
    0.000191749999999997×3.24022612501196e-05×40589641000000     		ar = 1448430.09969364m²