Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16212 / 17285
↖ ↑ ↗
← S  9.849804°
W  1.889649°		 ← 1 203.63 m → S  9.849804°
W  1.878662°		 →
↑
1 203.61 m
↓
↑
1 203.61 m
↓
S  9.860628°
W  1.889649°		 ← 1 203.59 m →
1 448 679 m²		 S  9.860628°
W  1.878662°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16212 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17285 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494766235351562 y=0.527511596679688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494766235351562 × 215)
    floor (0.494766235351562 × 32768)
    floor (16212.5)     		tx = 16212
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.527511596679688 × 215)
    floor (0.527511596679688 × 32768)
    floor (17285.5)     		ty = 17285
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16212 / 17285 ti = "15/16212/17285"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16212/17285.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16212 ÷ 215
    16212 ÷ 32768     		x = 0.4947509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17285 ÷ 215
    17285 ÷ 32768     		y = 0.527496337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4947509765625 × 2 - 1) × π
    -0.010498046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.03298059
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.527496337890625 × 2 - 1) × π
    -0.05499267578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.172764586230682
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03298059} λ = -0.03298059}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.172764586230682))-π/2
    2×atan(0.841335653530651)-π/2
    2×0.699442408702874-π/2
    1.39888481740575-1.57079632675     		φ = -0.17191151
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03298059} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.889649°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17191151 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.849804°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16212 KachelY 17285 -0.03298059 -0.17191151 -1.889649 -9.849804
    Oben rechts KachelX + 1 16213 KachelY 17285 -0.03278884 -0.17191151 -1.878662 -9.849804
    Unten links KachelX 16212 KachelY + 1 17286 -0.03298059 -0.17210043 -1.889649 -9.860628
    Unten rechts KachelX + 1 16213 KachelY + 1 17286 -0.03278884 -0.17210043 -1.878662 -9.860628
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17191151--0.17210043) × R
    0.000188920000000009 × 6371000     		dl = 1203.60932000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17191151--0.17210043) × R
    0.000188920000000009 × 6371000     		dr = 1203.60932000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03298059--0.03278884) × cos(-0.17191151) × R
    0.000191749999999997 × 0.985259572755441 × 6371000     		do = 1203.63176551626m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03298059--0.03278884) × cos(-0.17210043) × R
    0.000191749999999997 × 0.985227237385717 × 6371000     		du = 1203.59226335944m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17191151)-sin(-0.17210043))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.985259572755441-0.985227237385717)×R²
    abs(-0.03278884--0.03298059)×3.23353697235795e-05×R²
    0.000191749999999997×3.23353697235795e-05×6371000²
    0.000191749999999997×3.23353697235795e-05×40589641000000     		ar = 1448678.64255006m²