Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16211 / 17291
↖ ↑ ↗
← S  9.914744°
W  1.900635°		 ← 1 203.33 m → S  9.914744°
W  1.889649°		 →
↑
1 203.42 m
↓
↑
1 203.42 m
↓
S  9.925566°
W  1.900635°		 ← 1 203.29 m →
1 448 087 m²		 S  9.925566°
W  1.889649°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16211 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17291 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494735717773438 y=0.527694702148438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494735717773438 × 215)
    floor (0.494735717773438 × 32768)
    floor (16211.5)     		tx = 16211
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.527694702148438 × 215)
    floor (0.527694702148438 × 32768)
    floor (17291.5)     		ty = 17291
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16211 / 17291 ti = "15/16211/17291"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16211/17291.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16211 ÷ 215
    16211 ÷ 32768     		x = 0.494720458984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17291 ÷ 215
    17291 ÷ 32768     		y = 0.527679443359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494720458984375 × 2 - 1) × π
    -0.01055908203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.03317233
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.527679443359375 × 2 - 1) × π
    -0.05535888671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.173915071821564
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03317233} λ = -0.03317233}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.173915071821564))-π/2
    2×atan(0.840368265573826)-π/2
    2×0.698875701121694-π/2
    1.39775140224339-1.57079632675     		φ = -0.17304492
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03317233} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.900635°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17304492 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.914744°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16211 KachelY 17291 -0.03317233 -0.17304492 -1.900635 -9.914744
    Oben rechts KachelX + 1 16212 KachelY 17291 -0.03298059 -0.17304492 -1.889649 -9.914744
    Unten links KachelX 16211 KachelY + 1 17292 -0.03317233 -0.17323381 -1.900635 -9.925566
    Unten rechts KachelX + 1 16212 KachelY + 1 17292 -0.03298059 -0.17323381 -1.889649 -9.925566
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17304492--0.17323381) × R
    0.000188889999999997 × 6371000     		dl = 1203.41818999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17304492--0.17323381) × R
    0.000188889999999997 × 6371000     		dr = 1203.41818999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03317233--0.03298059) × cos(-0.17304492) × R
    0.000191740000000003 × 0.985065052047589 × 6371000     		do = 1203.33137289018m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03317233--0.03298059) × cos(-0.17323381) × R
    0.000191740000000003 × 0.985032510905661 × 6371000     		du = 1203.29162142716m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17304492)-sin(-0.17323381))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.985065052047589-0.985032510905661)×R²
    abs(-0.03298059--0.03317233)×3.25411419285215e-05×R²
    0.000191740000000003×3.25411419285215e-05×6371000²
    0.000191740000000003×3.25411419285215e-05×40589641000000     		ar = 1448086.94822242m²