Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 16208 / 51671
↖ ↑ ↗
← S 71.453406°
W 90.966797°		 ← 194.30 m → S 71.453406°
W 90.961304°		 →
↑
194.25 m
↓
↑
194.25 m
↓
S 71.455153°
W 90.966797°		 ← 194.28 m →
37 741 m²		 S 71.455153°
W 90.961304°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16208 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51671 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.247322082519531 y=0.788444519042969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.247322082519531 × 216)
    floor (0.247322082519531 × 65536)
    floor (16208.5)     		tx = 16208
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.788444519042969 × 216)
    floor (0.788444519042969 × 65536)
    floor (51671.5)     		ty = 51671
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 16208 / 51671 ti = "16/16208/51671"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/16208/51671.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16208 ÷ 216
    16208 ÷ 65536     		x = 0.247314453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51671 ÷ 216
    51671 ÷ 65536     		y = 0.788436889648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.247314453125 × 2 - 1) × π
    -0.50537109375 × 3.1415926535     		Λ = -1.58767012
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.788436889648438 × 2 - 1) × π
    -0.576873779296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.81230242703584
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.58767012} λ = -1.58767012}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.81230242703584))-π/2
    2×atan(0.1632777685401)-π/2
    2×0.161849570064174-π/2
    0.323699140128348-1.57079632675     		φ = -1.24709719
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.58767012} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -90.966797°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24709719 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.453406°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16208 KachelY 51671 -1.58767012 -1.24709719 -90.966797 -71.453406
    Oben rechts KachelX + 1 16209 KachelY 51671 -1.58757424 -1.24709719 -90.961304 -71.453406
    Unten links KachelX 16208 KachelY + 1 51672 -1.58767012 -1.24712768 -90.966797 -71.455153
    Unten rechts KachelX + 1 16209 KachelY + 1 51672 -1.58757424 -1.24712768 -90.961304 -71.455153
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24709719--1.24712768) × R
    3.04899999998831e-05 × 6371000     		dl = 194.251789999255m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24709719--1.24712768) × R
    3.04899999998831e-05 × 6371000     		dr = 194.251789999255m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.58767012--1.58757424) × cos(-1.24709719) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.318075752069086 × 6371000     		do = 194.297043903837m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.58767012--1.58757424) × cos(-1.24712768) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.318046845410199 × 6371000     		du = 194.279386228474m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24709719)-sin(-1.24712768))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.318075752069086-0.318046845410199)×R²
    abs(-1.58757424--1.58767012)×2.89066588867182e-05×R²
    9.58800000001592e-05×2.89066588867182e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×2.89066588867182e-05×40589641000000     		ar = 37740.8335552515m²