Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16206 / 17298
↖ ↑ ↗
← S  9.990491°
W  1.955566°		 ← 1 203.11 m → S  9.990491°
W  1.944580°		 →
↑
1 203.10 m
↓
↑
1 203.10 m
↓
S 10.001311°
W  1.955566°		 ← 1 203.07 m →
1 447 443 m²		 S 10.001311°
W  1.944580°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16206 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17298 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494583129882812 y=0.527908325195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494583129882812 × 215)
    floor (0.494583129882812 × 32768)
    floor (16206.5)     		tx = 16206
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.527908325195312 × 215)
    floor (0.527908325195312 × 32768)
    floor (17298.5)     		ty = 17298
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16206 / 17298 ti = "15/16206/17298"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16206/17298.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16206 ÷ 215
    16206 ÷ 32768     		x = 0.49456787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17298 ÷ 215
    17298 ÷ 32768     		y = 0.52789306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49456787109375 × 2 - 1) × π
    -0.0108642578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.03413107
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52789306640625 × 2 - 1) × π
    -0.0557861328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.175257305010925
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03413107} λ = -0.03413107}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.175257305010925))-π/2
    2×atan(0.839241052057414)-π/2
    2×0.69821468419802-π/2
    1.39642936839604-1.57079632675     		φ = -0.17436696
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03413107} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.955566°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17436696 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.990491°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16206 KachelY 17298 -0.03413107 -0.17436696 -1.955566 -9.990491
    Oben rechts KachelX + 1 16207 KachelY 17298 -0.03393932 -0.17436696 -1.944580 -9.990491
    Unten links KachelX 16206 KachelY + 1 17299 -0.03413107 -0.17455580 -1.955566 -10.001311
    Unten rechts KachelX + 1 16207 KachelY + 1 17299 -0.03393932 -0.17455580 -1.944580 -10.001311
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17436696--0.17455580) × R
    0.000188840000000023 × 6371000     		dl = 1203.09964000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17436696--0.17455580) × R
    0.000188840000000023 × 6371000     		dr = 1203.09964000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03413107--0.03393932) × cos(-0.17436696) × R
    0.000191749999999997 × 0.984836559003521 × 6371000     		do = 1203.11499531363m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03413107--0.03393932) × cos(-0.17455580) × R
    0.000191749999999997 × 0.984803780587122 × 6371000     		du = 1203.0749519136m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17436696)-sin(-0.17455580))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984836559003521-0.984803780587122)×R²
    abs(-0.03393932--0.03413107)×3.27784163988154e-05×R²
    0.000191749999999997×3.27784163988154e-05×6371000²
    0.000191749999999997×3.27784163988154e-05×40589641000000     		ar = 1447443.13394187m²