Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16204 / 18748
↖ ↑ ↗
← S 25.125393°
W  1.977539°		 ← 1 106.05 m → S 25.125393°
W  1.966553°		 →
↑
1 105.94 m
↓
↑
1 105.94 m
↓
S 25.135339°
W  1.977539°		 ← 1 105.96 m →
1 223 176 m²		 S 25.135339°
W  1.966553°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16204 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18748 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494522094726562 y=0.572158813476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494522094726562 × 215)
    floor (0.494522094726562 × 32768)
    floor (16204.5)     		tx = 16204
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.572158813476562 × 215)
    floor (0.572158813476562 × 32768)
    floor (18748.5)     		ty = 18748
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16204 / 18748 ti = "15/16204/18748"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16204/18748.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16204 ÷ 215
    16204 ÷ 32768     		x = 0.4945068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18748 ÷ 215
    18748 ÷ 32768     		y = 0.5721435546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4945068359375 × 2 - 1) × π
    -0.010986328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.03451457
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5721435546875 × 2 - 1) × π
    -0.144287109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.453291322807251
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03451457} λ = -0.03451457}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.453291322807251))-π/2
    2×atan(0.635532961408861)-π/2
    2×0.566137749939743-π/2
    1.13227549987949-1.57079632675     		φ = -0.43852083
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03451457} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.977539°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.43852083 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.125393°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16204 KachelY 18748 -0.03451457 -0.43852083 -1.977539 -25.125393
    Oben rechts KachelX + 1 16205 KachelY 18748 -0.03432282 -0.43852083 -1.966553 -25.125393
    Unten links KachelX 16204 KachelY + 1 18749 -0.03451457 -0.43869442 -1.977539 -25.135339
    Unten rechts KachelX + 1 16205 KachelY + 1 18749 -0.03432282 -0.43869442 -1.966553 -25.135339
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.43852083--0.43869442) × R
    0.000173590000000001 × 6371000     		dl = 1105.94189000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.43852083--0.43869442) × R
    0.000173590000000001 × 6371000     		dr = 1105.94189000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03451457--0.03432282) × cos(-0.43852083) × R
    0.000191750000000004 × 0.905380710096002 × 6371000     		do = 1106.04861164617m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03451457--0.03432282) × cos(-0.43869442) × R
    0.000191750000000004 × 0.905306990016583 × 6371000     		du = 1105.95855230364m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.43852083)-sin(-0.43869442))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.905380710096002-0.905306990016583)×R²
    abs(-0.03432282--0.03451457)×7.37200794190818e-05×R²
    0.000191750000000004×7.37200794190818e-05×6371000²
    0.000191750000000004×7.37200794190818e-05×40589641000000     		ar = 1223175.69486764m²