Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16203 / 17308
↖ ↑ ↗
← S 10.098670°
W  1.988526°		 ← 1 202.71 m → S 10.098670°
W  1.977539°		 →
↑
1 202.72 m
↓
↑
1 202.72 m
↓
S 10.109486°
W  1.988526°		 ← 1 202.67 m →
1 446 499 m²		 S 10.109486°
W  1.977539°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16203 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17308 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494491577148438 y=0.528213500976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494491577148438 × 215)
    floor (0.494491577148438 × 32768)
    floor (16203.5)     		tx = 16203
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.528213500976562 × 215)
    floor (0.528213500976562 × 32768)
    floor (17308.5)     		ty = 17308
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16203 / 17308 ti = "15/16203/17308"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16203/17308.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16203 ÷ 215
    16203 ÷ 32768     		x = 0.494476318359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17308 ÷ 215
    17308 ÷ 32768     		y = 0.5281982421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494476318359375 × 2 - 1) × π
    -0.01104736328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.03470632
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5281982421875 × 2 - 1) × π
    -0.056396484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.177174780995728
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03470632} λ = -0.03470632}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.177174780995728))-π/2
    2×atan(0.837633369333724)-π/2
    2×0.69727064156129-π/2
    1.39454128312258-1.57079632675     		φ = -0.17625504
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03470632} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.988526°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17625504 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.098670°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16203 KachelY 17308 -0.03470632 -0.17625504 -1.988526 -10.098670
    Oben rechts KachelX + 1 16204 KachelY 17308 -0.03451457 -0.17625504 -1.977539 -10.098670
    Unten links KachelX 16203 KachelY + 1 17309 -0.03470632 -0.17644382 -1.988526 -10.109486
    Unten rechts KachelX + 1 16204 KachelY + 1 17309 -0.03451457 -0.17644382 -1.977539 -10.109486
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17625504--0.17644382) × R
    0.00018878 × 6371000     		dl = 1202.71738m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17625504--0.17644382) × R
    0.00018878 × 6371000     		dr = 1202.71738m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03470632--0.03451457) × cos(-0.17625504) × R
    0.000191749999999997 × 0.984507250751501 × 6371000     		do = 1202.71269942761m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03470632--0.03451457) × cos(-0.17644382) × R
    0.000191749999999997 × 0.984474131792786 × 6371000     		du = 1202.67224000772m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17625504)-sin(-0.17644382))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984507250751501-0.984474131792786)×R²
    abs(-0.03451457--0.03470632)×3.31189587152725e-05×R²
    0.000191749999999997×3.31189587152725e-05×6371000²
    0.000191749999999997×3.31189587152725e-05×40589641000000     		ar = 1446499.14042029m²