Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16202 / 17310
↖ ↑ ↗
← S 10.120301°
W  1.999512°		 ← 1 202.57 m → S 10.120301°
W  1.988526°		 →
↑
1 202.65 m
↓
↑
1 202.65 m
↓
S 10.131117°
W  1.999512°		 ← 1 202.53 m →
1 446 250 m²		 S 10.131117°
W  1.988526°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16202 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17310 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494461059570312 y=0.528274536132812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494461059570312 × 215)
    floor (0.494461059570312 × 32768)
    floor (16202.5)     		tx = 16202
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.528274536132812 × 215)
    floor (0.528274536132812 × 32768)
    floor (17310.5)     		ty = 17310
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16202 / 17310 ti = "15/16202/17310"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16202/17310.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16202 ÷ 215
    16202 ÷ 32768     		x = 0.49444580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17310 ÷ 215
    17310 ÷ 32768     		y = 0.52825927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49444580078125 × 2 - 1) × π
    -0.0111083984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.03489806
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52825927734375 × 2 - 1) × π
    -0.0565185546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.177558276192688
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03489806} λ = -0.03489806}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.177558276192688))-π/2
    2×atan(0.837312202546666)-π/2
    2×0.697081871011751-π/2
    1.3941637420235-1.57079632675     		φ = -0.17663258
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03489806} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.999512°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17663258 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.120301°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16202 KachelY 17310 -0.03489806 -0.17663258 -1.999512 -10.120301
    Oben rechts KachelX + 1 16203 KachelY 17310 -0.03470632 -0.17663258 -1.988526 -10.120301
    Unten links KachelX 16202 KachelY + 1 17311 -0.03489806 -0.17682135 -1.999512 -10.131117
    Unten rechts KachelX + 1 16203 KachelY + 1 17311 -0.03470632 -0.17682135 -1.988526 -10.131117
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17663258--0.17682135) × R
    0.000188769999999977 × 6371000     		dl = 1202.65366999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17663258--0.17682135) × R
    0.000188769999999977 × 6371000     		dr = 1202.65366999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03489806--0.03470632) × cos(-0.17663258) × R
    0.000191740000000003 × 0.984440981263803 × 6371000     		do = 1202.56902328548m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03489806--0.03470632) × cos(-0.17682135) × R
    0.000191740000000003 × 0.984407793899841 × 6371000     		du = 1202.52848241342m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17663258)-sin(-0.17682135))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984440981263803-0.984407793899841)×R²
    abs(-0.03470632--0.03489806)×3.31873639615177e-05×R²
    0.000191740000000003×3.31873639615177e-05×6371000²
    0.000191740000000003×3.31873639615177e-05×40589641000000     		ar = 1446249.67526273m²