Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16201 / 7963
↖ ↑ ↗
← N 67.495957°
W  2.010498°		 ← 467.58 m → N 67.495957°
W  1.999512°		 →
↑
467.63 m
↓
↑
467.63 m
↓
N 67.491751°
W  2.010498°		 ← 467.66 m →
218 675 m²		 N 67.491751°
W  1.999512°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16201 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7963 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494430541992188 y=0.243026733398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494430541992188 × 215)
    floor (0.494430541992188 × 32768)
    floor (16201.5)     		tx = 16201
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.243026733398438 × 215)
    floor (0.243026733398438 × 32768)
    floor (7963.5)     		ty = 7963
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16201 / 7963 ti = "15/16201/7963"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16201/7963.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16201 ÷ 215
    16201 ÷ 32768     		x = 0.494415283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7963 ÷ 215
    7963 ÷ 32768     		y = 0.243011474609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494415283203125 × 2 - 1) × π
    -0.01116943359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.03508981
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.243011474609375 × 2 - 1) × π
    0.51397705078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.61470652680197
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03508981} λ = -0.03508981}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.61470652680197))-π/2
    2×atan(5.02641258961658)-π/2
    2×1.37441150156152-π/2
    2.74882300312304-1.57079632675     		φ = 1.17802668
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03508981} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.010498°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17802668 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.495957°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16201 KachelY 7963 -0.03508981 1.17802668 -2.010498 67.495957
    Oben rechts KachelX + 1 16202 KachelY 7963 -0.03489806 1.17802668 -1.999512 67.495957
    Unten links KachelX 16201 KachelY + 1 7964 -0.03508981 1.17795328 -2.010498 67.491751
    Unten rechts KachelX + 1 16202 KachelY + 1 7964 -0.03489806 1.17795328 -1.999512 67.491751
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17802668-1.17795328) × R
    7.34000000000012e-05 × 6371000     		dl = 467.631400000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17802668-1.17795328) × R
    7.34000000000012e-05 × 6371000     		dr = 467.631400000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03508981--0.03489806) × cos(1.17802668) × R
    0.000191749999999997 × 0.382748625060326 × 6371000     		do = 467.580743257222m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03508981--0.03489806) × cos(1.17795328) × R
    0.000191749999999997 × 0.382816434804641 × 6371000     		du = 467.66358230241m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17802668)-sin(1.17795328))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.382748625060326-0.382816434804641)×R²
    abs(-0.03489806--0.03508981)×6.78097443155279e-05×R²
    0.000191749999999997×6.78097443155279e-05×6371000²
    0.000191749999999997×6.78097443155279e-05×40589641000000     		ar = 218674.806749531m²