Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16201 / 17309
↖ ↑ ↗
← S 10.109486°
W  2.010498°		 ← 1 202.67 m → S 10.109486°
W  1.999512°		 →
↑
1 202.59 m
↓
↑
1 202.59 m
↓
S 10.120301°
W  2.010498°		 ← 1 202.63 m →
1 446 297 m²		 S 10.120301°
W  1.999512°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16201 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17309 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494430541992188 y=0.528244018554688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494430541992188 × 215)
    floor (0.494430541992188 × 32768)
    floor (16201.5)     		tx = 16201
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.528244018554688 × 215)
    floor (0.528244018554688 × 32768)
    floor (17309.5)     		ty = 17309
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16201 / 17309 ti = "15/16201/17309"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16201/17309.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16201 ÷ 215
    16201 ÷ 32768     		x = 0.494415283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17309 ÷ 215
    17309 ÷ 32768     		y = 0.528228759765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494415283203125 × 2 - 1) × π
    -0.01116943359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.03508981
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.528228759765625 × 2 - 1) × π
    -0.05645751953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.177366528594208
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03508981} λ = -0.03508981}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.177366528594208))-π/2
    2×atan(0.837472770544455)-π/2
    2×0.697176254698139-π/2
    1.39435250939628-1.57079632675     		φ = -0.17644382
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03508981} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.010498°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17644382 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.109486°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16201 KachelY 17309 -0.03508981 -0.17644382 -2.010498 -10.109486
    Oben rechts KachelX + 1 16202 KachelY 17309 -0.03489806 -0.17644382 -1.999512 -10.109486
    Unten links KachelX 16201 KachelY + 1 17310 -0.03508981 -0.17663258 -2.010498 -10.120301
    Unten rechts KachelX + 1 16202 KachelY + 1 17310 -0.03489806 -0.17663258 -1.999512 -10.120301
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17644382--0.17663258) × R
    0.00018876000000001 × 6371000     		dl = 1202.58996000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17644382--0.17663258) × R
    0.00018876000000001 × 6371000     		dr = 1202.58996000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03508981--0.03489806) × cos(-0.17644382) × R
    0.000191749999999997 × 0.984474131792786 × 6371000     		do = 1202.67224000772m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03508981--0.03489806) × cos(-0.17663258) × R
    0.000191749999999997 × 0.984440981263803 × 6371000     		du = 1202.63174202036m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17644382)-sin(-0.17663258))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984474131792786-0.984440981263803)×R²
    abs(-0.03489806--0.03508981)×3.31505289832279e-05×R²
    0.000191749999999997×3.31505289832279e-05×6371000²
    0.000191749999999997×3.31505289832279e-05×40589641000000     		ar = 1446297.21406192m²