Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16198 / 17312
↖ ↑ ↗
← S 10.141932°
W  2.043457°		 ← 1 202.49 m → S 10.141932°
W  2.032471°		 →
↑
1 202.53 m
↓
↑
1 202.53 m
↓
S 10.152746°
W  2.043457°		 ← 1 202.45 m →
1 445 999 m²		 S 10.152746°
W  2.032471°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16198 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17312 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494338989257812 y=0.528335571289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494338989257812 × 215)
    floor (0.494338989257812 × 32768)
    floor (16198.5)     		tx = 16198
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.528335571289062 × 215)
    floor (0.528335571289062 × 32768)
    floor (17312.5)     		ty = 17312
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16198 / 17312 ti = "15/16198/17312"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16198/17312.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16198 ÷ 215
    16198 ÷ 32768     		x = 0.49432373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17312 ÷ 215
    17312 ÷ 32768     		y = 0.5283203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49432373046875 × 2 - 1) × π
    -0.0113525390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.03566505
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5283203125 × 2 - 1) × π
    -0.056640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.177941771389648
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03566505} λ = -0.03566505}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.177941771389648))-π/2
    2×atan(0.836991158901916)-π/2
    2×0.696893113182288-π/2
    1.39378622636458-1.57079632675     		φ = -0.17701010
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03566505} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.043457°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17701010 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.141932°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16198 KachelY 17312 -0.03566505 -0.17701010 -2.043457 -10.141932
    Oben rechts KachelX + 1 16199 KachelY 17312 -0.03547331 -0.17701010 -2.032471 -10.141932
    Unten links KachelX 16198 KachelY + 1 17313 -0.03566505 -0.17719885 -2.043457 -10.152746
    Unten rechts KachelX + 1 16199 KachelY + 1 17313 -0.03547331 -0.17719885 -2.032471 -10.152746
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17701010--0.17719885) × R
    0.000188749999999988 × 6371000     		dl = 1202.52624999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17701010--0.17719885) × R
    0.000188749999999988 × 6371000     		dr = 1202.52624999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03566505--0.03547331) × cos(-0.17701010) × R
    0.000191739999999996 × 0.984374574979126 × 6371000     		do = 1202.48790299237m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03566505--0.03547331) × cos(-0.17719885) × R
    0.000191739999999996 × 0.984341320988527 × 6371000     		du = 1202.44728073085m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17701010)-sin(-0.17719885))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984374574979126-0.984341320988527)×R²
    abs(-0.03547331--0.03566505)×3.32539905981699e-05×R²
    0.000191739999999996×3.32539905981699e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.32539905981699e-05×40589641000000     		ar = 1445998.84828087m²