Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16196 / 18756
↖ ↑ ↗
← S 25.204941°
W  2.065430°		 ← 1 105.33 m → S 25.204941°
W  2.054443°		 →
↑
1 105.30 m
↓
↑
1 105.30 m
↓
S 25.214881°
W  2.065430°		 ← 1 105.24 m →
1 221 674 m²		 S 25.214881°
W  2.054443°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16196 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18756 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494277954101562 y=0.572402954101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494277954101562 × 215)
    floor (0.494277954101562 × 32768)
    floor (16196.5)     		tx = 16196
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.572402954101562 × 215)
    floor (0.572402954101562 × 32768)
    floor (18756.5)     		ty = 18756
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16196 / 18756 ti = "15/16196/18756"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16196/18756.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16196 ÷ 215
    16196 ÷ 32768     		x = 0.4942626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18756 ÷ 215
    18756 ÷ 32768     		y = 0.5723876953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4942626953125 × 2 - 1) × π
    -0.011474609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.03604855
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5723876953125 × 2 - 1) × π
    -0.144775390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.454825303595093
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03604855} λ = -0.03604855}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.454825303595093))-π/2
    2×atan(0.634558813409199)-π/2
    2×0.56544355795273-π/2
    1.13088711590546-1.57079632675     		φ = -0.43990921
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03604855} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.065430°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.43990921 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.204941°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16196 KachelY 18756 -0.03604855 -0.43990921 -2.065430 -25.204941
    Oben rechts KachelX + 1 16197 KachelY 18756 -0.03585680 -0.43990921 -2.054443 -25.204941
    Unten links KachelX 16196 KachelY + 1 18757 -0.03604855 -0.44008270 -2.065430 -25.214881
    Unten rechts KachelX + 1 16197 KachelY + 1 18757 -0.03585680 -0.44008270 -2.054443 -25.214881
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.43990921--0.44008270) × R
    0.000173489999999998 × 6371000     		dl = 1105.30478999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.43990921--0.44008270) × R
    0.000173489999999998 × 6371000     		dr = 1105.30478999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03604855--0.03585680) × cos(-0.43990921) × R
    0.000191749999999997 × 0.904790330535089 × 6371000     		do = 1105.32738080212m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03604855--0.03585680) × cos(-0.44008270) × R
    0.000191749999999997 × 0.904716434932313 × 6371000     		du = 1105.23710703337m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.43990921)-sin(-0.44008270))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.904790330535089-0.904716434932313)×R²
    abs(-0.03585680--0.03604855)×7.38956027761528e-05×R²
    0.000191749999999997×7.38956027761528e-05×6371000²
    0.000191749999999997×7.38956027761528e-05×40589641000000     		ar = 1221673.76156821m²