Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16196 / 15555
↖ ↑ ↗
← N 79.590860°
W135.516358°		 ← 55.18 m → N 79.590860°
W135.513611°		 →
↑
55.17 m
↓
↑
55.17 m
↓
N 79.590364°
W135.516358°		 ← 55.19 m →
3 045 m²		 N 79.590364°
W135.513611°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16196 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15555 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.123569488525391 y=0.118679046630859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.123569488525391 × 217)
    floor (0.123569488525391 × 131072)
    floor (16196.5)     		tx = 16196
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.118679046630859 × 217)
    floor (0.118679046630859 × 131072)
    floor (15555.5)     		ty = 15555
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16196 / 15555 ti = "17/16196/15555"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16196/15555.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16196 ÷ 217
    16196 ÷ 131072     		x = 0.123565673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15555 ÷ 217
    15555 ÷ 131072     		y = 0.118675231933594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.123565673828125 × 2 - 1) × π
    -0.75286865234375 × 3.1415926535     		Λ = -2.36520663
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.118675231933594 × 2 - 1) × π
    0.762649536132812 × 3.1415926535     		Φ = 2.39593417991003
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.36520663} λ = -2.36520663}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39593417991003))-π/2
    2×atan(10.978449116777)-π/2
    2×1.47995944909977-π/2
    2.95991889819955-1.57079632675     		φ = 1.38912257
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.36520663} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -135.516358°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38912257 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.590860°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16196 KachelY 15555 -2.36520663 1.38912257 -135.516358 79.590860
    Oben rechts KachelX + 1 16197 KachelY 15555 -2.36515869 1.38912257 -135.513611 79.590860
    Unten links KachelX 16196 KachelY + 1 15556 -2.36520663 1.38911391 -135.516358 79.590364
    Unten rechts KachelX + 1 16197 KachelY + 1 15556 -2.36515869 1.38911391 -135.513611 79.590364
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38912257-1.38911391) × R
    8.65999999999367e-06 × 6371000     		dl = 55.1728599999597m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38912257-1.38911391) × R
    8.65999999999367e-06 × 6371000     		dr = 55.1728599999597m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.36520663--2.36515869) × cos(1.38912257) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.180676036950679 × 6371000     		do = 55.1831122858922m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.36520663--2.36515869) × cos(1.38911391) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.180684554423364 × 6371000     		du = 55.18571374129m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38912257)-sin(1.38911391))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.180676036950679-0.180684554423364)×R²
    abs(-2.36515869--2.36520663)×8.51747268532099e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.51747268532099e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.51747268532099e-06×40589641000000     		ar = 3044.68189326378m²