Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16193 / 16195
↖ ↑ ↗
← N 79.268427°
W135.524597°		 ← 56.87 m → N 79.268427°
W135.521851°		 →
↑
56.83 m
↓
↑
56.83 m
↓
N 79.267916°
W135.524597°		 ← 56.88 m →
3 232 m²		 N 79.267916°
W135.521851°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16193 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16195 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.123546600341797 y=0.123561859130859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.123546600341797 × 217)
    floor (0.123546600341797 × 131072)
    floor (16193.5)     		tx = 16193
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.123561859130859 × 217)
    floor (0.123561859130859 × 131072)
    floor (16195.5)     		ty = 16195
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16193 / 16195 ti = "17/16193/16195"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16193/16195.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16193 ÷ 217
    16193 ÷ 131072     		x = 0.123542785644531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16195 ÷ 217
    16195 ÷ 131072     		y = 0.123558044433594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.123542785644531 × 2 - 1) × π
    -0.752914428710938 × 3.1415926535     		Λ = -2.36535044
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.123558044433594 × 2 - 1) × π
    0.752883911132812 × 3.1415926535     		Φ = 2.36525456415319
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.36535044} λ = -2.36535044}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36525456415319))-π/2
    2×atan(10.6467487531497)-π/2
    2×1.4771456892432-π/2
    2.9542913784864-1.57079632675     		φ = 1.38349505
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.36535044} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -135.524597°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38349505 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.268427°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16193 KachelY 16195 -2.36535044 1.38349505 -135.524597 79.268427
    Oben rechts KachelX + 1 16194 KachelY 16195 -2.36530250 1.38349505 -135.521851 79.268427
    Unten links KachelX 16193 KachelY + 1 16196 -2.36535044 1.38348613 -135.524597 79.267916
    Unten rechts KachelX + 1 16194 KachelY + 1 16196 -2.36530250 1.38348613 -135.521851 79.267916
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38349505-1.38348613) × R
    8.91999999996784e-06 × 6371000     		dl = 56.8293199997951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38349505-1.38348613) × R
    8.91999999996784e-06 × 6371000     		dr = 56.8293199997951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.36535044--2.36530250) × cos(1.38349505) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.186208052837229 × 6371000     		do = 56.8727323317324m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.36535044--2.36530250) × cos(1.38348613) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.186216816822021 × 6371000     		du = 56.8754090782729m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38349505)-sin(1.38348613))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186208052837229-0.186216816822021)×R²
    abs(-2.36530250--2.36535044)×8.76398479224272e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.76398479224272e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.76398479224272e-06×40589641000000     		ar = 3232.11476387274m²