Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16187 / 16454
↖ ↑ ↗
← N 79.135154°
W135.541077°		 ← 57.57 m → N 79.135154°
W135.538330°		 →
↑
57.59 m
↓
↑
57.59 m
↓
N 79.134637°
W135.541077°		 ← 57.57 m →
3 316 m²		 N 79.134637°
W135.538330°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16187 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16454 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.123500823974609 y=0.125537872314453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.123500823974609 × 217)
    floor (0.123500823974609 × 131072)
    floor (16187.5)     		tx = 16187
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.125537872314453 × 217)
    floor (0.125537872314453 × 131072)
    floor (16454.5)     		ty = 16454
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16187 / 16454 ti = "17/16187/16454"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16187/16454.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16187 ÷ 217
    16187 ÷ 131072     		x = 0.123497009277344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16454 ÷ 217
    16454 ÷ 131072     		y = 0.125534057617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.123497009277344 × 2 - 1) × π
    -0.753005981445312 × 3.1415926535     		Λ = -2.36563806
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.125534057617188 × 2 - 1) × π
    0.748931884765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.3528389071516
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.36563806} λ = -2.36563806}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3528389071516))-π/2
    2×atan(10.5153795772887)-π/2
    2×1.47598266346551-π/2
    2.95196532693102-1.57079632675     		φ = 1.38116900
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.36563806} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -135.541077°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38116900 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.135154°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16187 KachelY 16454 -2.36563806 1.38116900 -135.541077 79.135154
    Oben rechts KachelX + 1 16188 KachelY 16454 -2.36559012 1.38116900 -135.538330 79.135154
    Unten links KachelX 16187 KachelY + 1 16455 -2.36563806 1.38115996 -135.541077 79.134637
    Unten rechts KachelX + 1 16188 KachelY + 1 16455 -2.36559012 1.38115996 -135.538330 79.134637
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38116900-1.38115996) × R
    9.04000000012672e-06 × 6371000     		dl = 57.5938400008074m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38116900-1.38115996) × R
    9.04000000012672e-06 × 6371000     		dr = 57.5938400008074m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.36563806--2.36559012) × cos(1.38116900) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.188492915204382 × 6371000     		do = 57.5705881115511m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.36563806--2.36559012) × cos(1.38115996) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.188501793150608 × 6371000     		du = 57.5732996648469m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38116900)-sin(1.38115996))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.188492915204382-0.188501793150608)×R²
    abs(-2.36559012--2.36563806)×8.87794622617122e-06×R²
    4.79400000004127e-05×8.87794622617122e-06×6371000²
    4.79400000004127e-05×8.87794622617122e-06×40589641000000     		ar = 3315.78932484287m²