Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16185 / 17336
↖ ↑ ↗
← S 10.401378°
W  2.186279°		 ← 1 201.56 m → S 10.401378°
W  2.175293°		 →
↑
1 201.51 m
↓
↑
1 201.51 m
↓
S 10.412183°
W  2.186279°		 ← 1 201.52 m →
1 443 663 m²		 S 10.412183°
W  2.175293°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16185 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17336 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.493942260742188 y=0.529067993164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.493942260742188 × 215)
    floor (0.493942260742188 × 32768)
    floor (16185.5)     		tx = 16185
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.529067993164062 × 215)
    floor (0.529067993164062 × 32768)
    floor (17336.5)     		ty = 17336
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16185 / 17336 ti = "15/16185/17336"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16185/17336.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16185 ÷ 215
    16185 ÷ 32768     		x = 0.493927001953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17336 ÷ 215
    17336 ÷ 32768     		y = 0.529052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.493927001953125 × 2 - 1) × π
    -0.01214599609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.03815777
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.529052734375 × 2 - 1) × π
    -0.05810546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.182543713753174
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03815777} λ = -0.03815777}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.182543713753174))-π/2
    2×atan(0.833148223096509)-π/2
    2×0.694629020865104-π/2
    1.38925804173021-1.57079632675     		φ = -0.18153829
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03815777} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.186279°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18153829 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.401378°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16185 KachelY 17336 -0.03815777 -0.18153829 -2.186279 -10.401378
    Oben rechts KachelX + 1 16186 KachelY 17336 -0.03796602 -0.18153829 -2.175293 -10.401378
    Unten links KachelX 16185 KachelY + 1 17337 -0.03815777 -0.18172688 -2.186279 -10.412183
    Unten rechts KachelX + 1 16186 KachelY + 1 17337 -0.03796602 -0.18172688 -2.175293 -10.412183
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18153829--0.18172688) × R
    0.000188590000000016 × 6371000     		dl = 1201.5068900001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18153829--0.18172688) × R
    0.000188590000000016 × 6371000     		dr = 1201.5068900001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03815777--0.03796602) × cos(-0.18153829) × R
    0.000191749999999997 × 0.983567129442025 × 6371000     		do = 1201.56421033619m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03815777--0.03796602) × cos(-0.18172688) × R
    0.000191749999999997 × 0.9835330633851 × 6371000     		du = 1201.52259390396m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18153829)-sin(-0.18172688))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.983567129442025-0.9835330633851)×R²
    abs(-0.03796602--0.03815777)×3.40660569247975e-05×R²
    0.000191749999999997×3.40660569247975e-05×6371000²
    0.000191749999999997×3.40660569247975e-05×40589641000000     		ar = 1443662.68056019m²