Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16181 / 17273
↖ ↑ ↗
← S  9.719886°
W  2.230224°		 ← 1 204.10 m → S  9.719886°
W  2.219238°		 →
↑
1 204.06 m
↓
↑
1 204.06 m
↓
S  9.730714°
W  2.230224°		 ← 1 204.06 m →
1 449 783 m²		 S  9.730714°
W  2.219238°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16181 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17273 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.493820190429688 y=0.527145385742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.493820190429688 × 215)
    floor (0.493820190429688 × 32768)
    floor (16181.5)     		tx = 16181
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.527145385742188 × 215)
    floor (0.527145385742188 × 32768)
    floor (17273.5)     		ty = 17273
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16181 / 17273 ti = "15/16181/17273"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16181/17273.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16181 ÷ 215
    16181 ÷ 32768     		x = 0.493804931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17273 ÷ 215
    17273 ÷ 32768     		y = 0.527130126953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.493804931640625 × 2 - 1) × π
    -0.01239013671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.03892476
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.527130126953125 × 2 - 1) × π
    -0.05426025390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.17046361504892
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03892476} λ = -0.03892476}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.17046361504892))-π/2
    2×atan(0.843273771545355)-π/2
    2×0.700576157790816-π/2
    1.40115231558163-1.57079632675     		φ = -0.16964401
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03892476} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.230224°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16964401 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.719886°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16181 KachelY 17273 -0.03892476 -0.16964401 -2.230224 -9.719886
    Oben rechts KachelX + 1 16182 KachelY 17273 -0.03873301 -0.16964401 -2.219238 -9.719886
    Unten links KachelX 16181 KachelY + 1 17274 -0.03892476 -0.16983300 -2.230224 -9.730714
    Unten rechts KachelX + 1 16182 KachelY + 1 17274 -0.03873301 -0.16983300 -2.219238 -9.730714
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16964401--0.16983300) × R
    0.00018899 × 6371000     		dl = 1204.05529m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16964401--0.16983300) × R
    0.00018899 × 6371000     		dr = 1204.05529m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03892476--0.03873301) × cos(-0.16964401) × R
    0.000191750000000004 × 0.985644931681707 × 6371000     		do = 1204.10253510597m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03892476--0.03873301) × cos(-0.16983300) × R
    0.000191750000000004 × 0.985613006618237 × 6371000     		du = 1204.06353419538m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16964401)-sin(-0.16983300))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.985644931681707-0.985613006618237)×R²
    abs(-0.03873301--0.03892476)×3.19250634699397e-05×R²
    0.000191750000000004×3.19250634699397e-05×6371000²
    0.000191750000000004×3.19250634699397e-05×40589641000000     		ar = 1449782.55178553m²