Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16177 / 8016
↖ ↑ ↗
← N 67.272043°
W  2.274170°		 ← 471.96 m → N 67.272043°
W  2.263184°		 →
↑
472.03 m
↓
↑
472.03 m
↓
N 67.267798°
W  2.274170°		 ← 472.05 m →
222 799 m²		 N 67.267798°
W  2.263184°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16177 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8016 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.493698120117188 y=0.244644165039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.493698120117188 × 215)
    floor (0.493698120117188 × 32768)
    floor (16177.5)     		tx = 16177
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.244644165039062 × 215)
    floor (0.244644165039062 × 32768)
    floor (8016.5)     		ty = 8016
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16177 / 8016 ti = "15/16177/8016"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16177/8016.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16177 ÷ 215
    16177 ÷ 32768     		x = 0.493682861328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8016 ÷ 215
    8016 ÷ 32768     		y = 0.24462890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.493682861328125 × 2 - 1) × π
    -0.01263427734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.03969175
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.24462890625 × 2 - 1) × π
    0.5107421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.60454390408252
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03969175} λ = -0.03969175}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.60454390408252))-π/2
    2×atan(4.97558973897423)-π/2
    2×1.37245748299026-π/2
    2.74491496598052-1.57079632675     		φ = 1.17411864
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03969175} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.274170°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17411864 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.272043°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16177 KachelY 8016 -0.03969175 1.17411864 -2.274170 67.272043
    Oben rechts KachelX + 1 16178 KachelY 8016 -0.03950001 1.17411864 -2.263184 67.272043
    Unten links KachelX 16177 KachelY + 1 8017 -0.03969175 1.17404455 -2.274170 67.267798
    Unten rechts KachelX + 1 16178 KachelY + 1 8017 -0.03950001 1.17404455 -2.263184 67.267798
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17411864-1.17404455) × R
    7.40900000000266e-05 × 6371000     		dl = 472.02739000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17411864-1.17404455) × R
    7.40900000000266e-05 × 6371000     		dr = 472.02739000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03969175--0.03950001) × cos(1.17411864) × R
    0.000191739999999996 × 0.38635614568282 × 6371000     		do = 471.963217294799m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03969175--0.03950001) × cos(1.17404455) × R
    0.000191739999999996 × 0.38642448150999 × 6371000     		du = 472.046694669775m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17411864)-sin(1.17404455))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.38635614568282-0.38642448150999)×R²
    abs(-0.03950001--0.03969175)×6.83358271701962e-05×R²
    0.000191739999999996×6.83358271701962e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.83358271701962e-05×40589641000000     		ar = 222799.267541164m²