Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16177 / 17270
↖ ↑ ↗
← S  9.687399°
W  2.274170°		 ← 1 204.16 m → S  9.687399°
W  2.263184°		 →
↑
1 204.18 m
↓
↑
1 204.18 m
↓
S  9.698228°
W  2.274170°		 ← 1 204.12 m →
1 450 001 m²		 S  9.698228°
W  2.263184°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16177 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17270 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.493698120117188 y=0.527053833007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.493698120117188 × 215)
    floor (0.493698120117188 × 32768)
    floor (16177.5)     		tx = 16177
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.527053833007812 × 215)
    floor (0.527053833007812 × 32768)
    floor (17270.5)     		ty = 17270
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16177 / 17270 ti = "15/16177/17270"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16177/17270.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16177 ÷ 215
    16177 ÷ 32768     		x = 0.493682861328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17270 ÷ 215
    17270 ÷ 32768     		y = 0.52703857421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.493682861328125 × 2 - 1) × π
    -0.01263427734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.03969175
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52703857421875 × 2 - 1) × π
    -0.0540771484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.169888372253479
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03969175} λ = -0.03969175}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.169888372253479))-π/2
    2×atan(0.843758998255225)-π/2
    2×0.700859664115189-π/2
    1.40171932823038-1.57079632675     		φ = -0.16907700
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03969175} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.274170°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16907700 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.687399°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16177 KachelY 17270 -0.03969175 -0.16907700 -2.274170 -9.687399
    Oben rechts KachelX + 1 16178 KachelY 17270 -0.03950001 -0.16907700 -2.263184 -9.687399
    Unten links KachelX 16177 KachelY + 1 17271 -0.03969175 -0.16926601 -2.274170 -9.698228
    Unten rechts KachelX + 1 16178 KachelY + 1 17271 -0.03950001 -0.16926601 -2.263184 -9.698228
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16907700--0.16926601) × R
    0.000189009999999989 × 6371000     		dl = 1204.18270999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16907700--0.16926601) × R
    0.000189009999999989 × 6371000     		dr = 1204.18270999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03969175--0.03950001) × cos(-0.16907700) × R
    0.000191739999999996 × 0.985740502371485 × 6371000     		do = 1204.15648648429m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03969175--0.03950001) × cos(-0.16926601) × R
    0.000191739999999996 × 0.985708679563195 × 6371000     		du = 1204.11761252007m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16907700)-sin(-0.16926601))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.985740502371485-0.985708679563195)×R²
    abs(-0.03950001--0.03969175)×3.18228082896166e-05×R²
    0.000191739999999996×3.18228082896166e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.18228082896166e-05×40589641000000     		ar = 1450001.01979761m²