Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16176 / 8015
↖ ↑ ↗
← N 67.276287°
W  2.285156°		 ← 471.90 m → N 67.276287°
W  2.274170°		 →
↑
471.96 m
↓
↑
471.96 m
↓
N 67.272043°
W  2.285156°		 ← 471.99 m →
222 741 m²		 N 67.272043°
W  2.274170°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16176 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8015 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.493667602539062 y=0.244613647460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.493667602539062 × 215)
    floor (0.493667602539062 × 32768)
    floor (16176.5)     		tx = 16176
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.244613647460938 × 215)
    floor (0.244613647460938 × 32768)
    floor (8015.5)     		ty = 8015
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16176 / 8015 ti = "15/16176/8015"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16176/8015.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16176 ÷ 215
    16176 ÷ 32768     		x = 0.49365234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8015 ÷ 215
    8015 ÷ 32768     		y = 0.244598388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49365234375 × 2 - 1) × π
    -0.0126953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.03988350
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.244598388671875 × 2 - 1) × π
    0.51080322265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.604735651681
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03988350} λ = -0.03988350}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.604735651681))-π/2
    2×atan(4.97654388783266)-π/2
    2×1.3724945211465-π/2
    2.74498904229299-1.57079632675     		φ = 1.17419272
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03988350} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.285156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17419272 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.276287°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16176 KachelY 8015 -0.03988350 1.17419272 -2.285156 67.276287
    Oben rechts KachelX + 1 16177 KachelY 8015 -0.03969175 1.17419272 -2.274170 67.276287
    Unten links KachelX 16176 KachelY + 1 8016 -0.03988350 1.17411864 -2.285156 67.272043
    Unten rechts KachelX + 1 16177 KachelY + 1 8016 -0.03969175 1.17411864 -2.274170 67.272043
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17419272-1.17411864) × R
    7.40799999998654e-05 × 6371000     		dl = 471.963679999142m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17419272-1.17411864) × R
    7.40799999998654e-05 × 6371000     		dr = 471.963679999142m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03988350--0.03969175) × cos(1.17419272) × R
    0.000191750000000004 × 0.386287816958597 × 6371000     		do = 471.904358993449m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03988350--0.03969175) × cos(1.17411864) × R
    0.000191750000000004 × 0.38635614568282 × 6371000     		du = 471.987832044861m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17419272)-sin(1.17411864))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.386287816958597-0.38635614568282)×R²
    abs(-0.03969175--0.03988350)×6.83287242226882e-05×R²
    0.000191750000000004×6.83287242226882e-05×6371000²
    0.000191750000000004×6.83287242226882e-05×40589641000000     		ar = 222741.416104916m²