Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 16164 / 18868
↖ ↑ ↗
← S 26.313113°
W  2.416992°		 ← 1 095.06 m → S 26.313113°
W  2.406006°		 →
↑
1 094.98 m
↓
↑
1 094.98 m
↓
S 26.322960°
W  2.416992°		 ← 1 094.97 m →
1 199 021 m²		 S 26.322960°
W  2.406006°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16164 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18868 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.493301391601562 y=0.575820922851562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.493301391601562 × 215)
    floor (0.493301391601562 × 32768)
    floor (16164.5)     		tx = 16164
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.575820922851562 × 215)
    floor (0.575820922851562 × 32768)
    floor (18868.5)     		ty = 18868
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16164 / 18868 ti = "15/16164/18868"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16164/18868.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16164 ÷ 215
    16164 ÷ 32768     		x = 0.4932861328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18868 ÷ 215
    18868 ÷ 32768     		y = 0.5758056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4932861328125 × 2 - 1) × π
    -0.013427734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.04218447
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5758056640625 × 2 - 1) × π
    -0.151611328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.476301034624878
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04218447} λ = -0.04218447}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.476301034624878))-π/2
    2×atan(0.62107648857533)-π/2
    2×0.555772937415704-π/2
    1.11154587483141-1.57079632675     		φ = -0.45925045
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04218447} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.416992°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.45925045 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.313113°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16164 KachelY 18868 -0.04218447 -0.45925045 -2.416992 -26.313113
    Oben rechts KachelX + 1 16165 KachelY 18868 -0.04199272 -0.45925045 -2.406006 -26.313113
    Unten links KachelX 16164 KachelY + 1 18869 -0.04218447 -0.45942232 -2.416992 -26.322960
    Unten rechts KachelX + 1 16165 KachelY + 1 18869 -0.04199272 -0.45942232 -2.406006 -26.322960
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.45925045--0.45942232) × R
    0.000171870000000018 × 6371000     		dl = 1094.98377000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.45925045--0.45942232) × R
    0.000171870000000018 × 6371000     		dr = 1094.98377000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04218447--0.04199272) × cos(-0.45925045) × R
    0.000191750000000004 × 0.896385007085516 × 6371000     		do = 1095.05910776722m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04218447--0.04199272) × cos(-0.45942232) × R
    0.000191750000000004 × 0.896308807940984 × 6371000     		du = 1094.96601990144m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.45925045)-sin(-0.45942232))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.896385007085516-0.896308807940984)×R²
    abs(-0.04199272--0.04218447)×7.61991445322741e-05×R²
    0.000191750000000004×7.61991445322741e-05×6371000²
    0.000191750000000004×7.61991445322741e-05×40589641000000     		ar = 1199020.9882966m²