Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 16162 / 7969
↖ ↑ ↗
← N 67.470714°
W  2.438965°		 ← 468.08 m → N 67.470714°
W  2.427979°		 →
↑
468.14 m
↓
↑
468.14 m
↓
N 67.466503°
W  2.438965°		 ← 468.16 m →
219 146 m²		 N 67.466503°
W  2.427979°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16162 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7969 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.493240356445312 y=0.243209838867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.493240356445312 × 215)
    floor (0.493240356445312 × 32768)
    floor (16162.5)     		tx = 16162
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.243209838867188 × 215)
    floor (0.243209838867188 × 32768)
    floor (7969.5)     		ty = 7969
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16162 / 7969 ti = "15/16162/7969"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16162/7969.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16162 ÷ 215
    16162 ÷ 32768     		x = 0.49322509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7969 ÷ 215
    7969 ÷ 32768     		y = 0.243194580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49322509765625 × 2 - 1) × π
    -0.0135498046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.04256797
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.243194580078125 × 2 - 1) × π
    0.51361083984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.61355604121109
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04256797} λ = -0.04256797}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.61355604121109))-π/2
    2×atan(5.02063309960588)-π/2
    2×1.37419121112736-π/2
    2.74838242225472-1.57079632675     		φ = 1.17758610
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04256797} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.438965°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17758610 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.470714°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16162 KachelY 7969 -0.04256797 1.17758610 -2.438965 67.470714
    Oben rechts KachelX + 1 16163 KachelY 7969 -0.04237622 1.17758610 -2.427979 67.470714
    Unten links KachelX 16162 KachelY + 1 7970 -0.04256797 1.17751262 -2.438965 67.466503
    Unten rechts KachelX + 1 16163 KachelY + 1 7970 -0.04237622 1.17751262 -2.427979 67.466503
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17758610-1.17751262) × R
    7.34800000001812e-05 × 6371000     		dl = 468.141080001154m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17758610-1.17751262) × R
    7.34800000001812e-05 × 6371000     		dr = 468.141080001154m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04256797--0.04237622) × cos(1.17758610) × R
    0.000191749999999997 × 0.383155618845307 × 6371000     		do = 468.07794283946m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04256797--0.04237622) × cos(1.17751262) × R
    0.000191749999999997 × 0.383223490096854 × 6371000     		du = 468.160857024297m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17758610)-sin(1.17751262))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.383155618845307-0.383223490096854)×R²
    abs(-0.04237622--0.04256797)×6.78712515475022e-05×R²
    0.000191749999999997×6.78712515475022e-05×6371000²
    0.000191749999999997×6.78712515475022e-05×40589641000000     		ar = 219145.921551862m²