Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 16162 / 18847
↖ ↑ ↗
← S 26.106121°
W  2.438965°		 ← 1 097.01 m → S 26.106121°
W  2.427979°		 →
↑
1 096.96 m
↓
↑
1 096.96 m
↓
S 26.115986°
W  2.438965°		 ← 1 096.92 m →
1 203 322 m²		 S 26.115986°
W  2.427979°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16162 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18847 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.493240356445312 y=0.575180053710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.493240356445312 × 215)
    floor (0.493240356445312 × 32768)
    floor (16162.5)     		tx = 16162
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.575180053710938 × 215)
    floor (0.575180053710938 × 32768)
    floor (18847.5)     		ty = 18847
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16162 / 18847 ti = "15/16162/18847"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16162/18847.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16162 ÷ 215
    16162 ÷ 32768     		x = 0.49322509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18847 ÷ 215
    18847 ÷ 32768     		y = 0.575164794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49322509765625 × 2 - 1) × π
    -0.0135498046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.04256797
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.575164794921875 × 2 - 1) × π
    -0.15032958984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.472274335056793
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04256797} λ = -0.04256797}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.472274335056793))-π/2
    2×atan(0.623582418931973)-π/2
    2×0.557579281679466-π/2
    1.11515856335893-1.57079632675     		φ = -0.45563776
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04256797} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.438965°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.45563776 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.106121°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16162 KachelY 18847 -0.04256797 -0.45563776 -2.438965 -26.106121
    Oben rechts KachelX + 1 16163 KachelY 18847 -0.04237622 -0.45563776 -2.427979 -26.106121
    Unten links KachelX 16162 KachelY + 1 18848 -0.04256797 -0.45580994 -2.438965 -26.115986
    Unten rechts KachelX + 1 16163 KachelY + 1 18848 -0.04237622 -0.45580994 -2.427979 -26.115986
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.45563776--0.45580994) × R
    0.000172180000000022 × 6371000     		dl = 1096.95878000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.45563776--0.45580994) × R
    0.000172180000000022 × 6371000     		dr = 1096.95878000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04256797--0.04237622) × cos(-0.45563776) × R
    0.000191749999999997 × 0.897980574033949 × 6371000     		do = 1097.00831497739m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04256797--0.04237622) × cos(-0.45580994) × R
    0.000191749999999997 × 0.897904795480173 × 6371000     		du = 1096.91574092179m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.45563776)-sin(-0.45580994))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.897980574033949-0.897904795480173)×R²
    abs(-0.04237622--0.04256797)×7.57785537758293e-05×R²
    0.000191749999999997×7.57785537758293e-05×6371000²
    0.000191749999999997×7.57785537758293e-05×40589641000000     		ar = 1203322.13085888m²