Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16161 / 7967
↖ ↑ ↗
← N 67.479131°
W  2.449951°		 ← 467.89 m → N 67.479131°
W  2.438965°		 →
↑
467.95 m
↓
↑
467.95 m
↓
N 67.474922°
W  2.449951°		 ← 467.97 m →
218 967 m²		 N 67.474922°
W  2.438965°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16161 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7967 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.493209838867188 y=0.243148803710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.493209838867188 × 215)
    floor (0.493209838867188 × 32768)
    floor (16161.5)     		tx = 16161
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.243148803710938 × 215)
    floor (0.243148803710938 × 32768)
    floor (7967.5)     		ty = 7967
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16161 / 7967 ti = "15/16161/7967"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16161/7967.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16161 ÷ 215
    16161 ÷ 32768     		x = 0.493194580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7967 ÷ 215
    7967 ÷ 32768     		y = 0.243133544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.493194580078125 × 2 - 1) × π
    -0.01361083984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.04275971
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.243133544921875 × 2 - 1) × π
    0.51373291015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.61393953640805
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04275971} λ = -0.04275971}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.61393953640805))-π/2
    2×atan(5.02255885752113)-π/2
    2×1.37426466728676-π/2
    2.74852933457353-1.57079632675     		φ = 1.17773301
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04275971} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.449951°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17773301 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.479131°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16161 KachelY 7967 -0.04275971 1.17773301 -2.449951 67.479131
    Oben rechts KachelX + 1 16162 KachelY 7967 -0.04256797 1.17773301 -2.438965 67.479131
    Unten links KachelX 16161 KachelY + 1 7968 -0.04275971 1.17765956 -2.449951 67.474922
    Unten rechts KachelX + 1 16162 KachelY + 1 7968 -0.04256797 1.17765956 -2.438965 67.474922
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17773301-1.17765956) × R
    7.34500000001415e-05 × 6371000     		dl = 467.949950000901m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17773301-1.17765956) × R
    7.34500000001415e-05 × 6371000     		dr = 467.949950000901m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04275971--0.04256797) × cos(1.17773301) × R
    0.000191740000000003 × 0.383019916323255 × 6371000     		do = 467.887761113341m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04275971--0.04256797) × cos(1.17765956) × R
    0.000191740000000003 × 0.383087763999222 × 6371000     		du = 467.970642174749m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17773301)-sin(1.17765956))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.383019916323255-0.383087763999222)×R²
    abs(-0.04256797--0.04275971)×6.7847675967625e-05×R²
    0.000191740000000003×6.7847675967625e-05×6371000²
    0.000191740000000003×6.7847675967625e-05×40589641000000     		ar = 218967.446611953m²