Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16160 / 7968
↖ ↑ ↗
← N 67.474922°
W  2.460937°		 ← 468 m → N 67.474922°
W  2.449951°		 →
↑
468.01 m
↓
↑
468.01 m
↓
N 67.470714°
W  2.460937°		 ← 468.08 m →
219 047 m²		 N 67.470714°
W  2.449951°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16160 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7968 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.493179321289062 y=0.243179321289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.493179321289062 × 215)
    floor (0.493179321289062 × 32768)
    floor (16160.5)     		tx = 16160
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.243179321289062 × 215)
    floor (0.243179321289062 × 32768)
    floor (7968.5)     		ty = 7968
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16160 / 7968 ti = "15/16160/7968"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16160/7968.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16160 ÷ 215
    16160 ÷ 32768     		x = 0.4931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7968 ÷ 215
    7968 ÷ 32768     		y = 0.2431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4931640625 × 2 - 1) × π
    -0.013671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.04295146
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2431640625 × 2 - 1) × π
    0.513671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.61374778880957
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04295146} λ = -0.04295146}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.61374778880957))-π/2
    2×atan(5.02159588624864)-π/2
    2×1.37422794245969-π/2
    2.74845588491938-1.57079632675     		φ = 1.17765956
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04295146} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.460937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17765956 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.474922°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16160 KachelY 7968 -0.04295146 1.17765956 -2.460937 67.474922
    Oben rechts KachelX + 1 16161 KachelY 7968 -0.04275971 1.17765956 -2.449951 67.474922
    Unten links KachelX 16160 KachelY + 1 7969 -0.04295146 1.17758610 -2.460937 67.470714
    Unten rechts KachelX + 1 16161 KachelY + 1 7969 -0.04275971 1.17758610 -2.449951 67.470714
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17765956-1.17758610) × R
    7.34599999998586e-05 × 6371000     		dl = 468.013659999099m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17765956-1.17758610) × R
    7.34599999998586e-05 × 6371000     		dr = 468.013659999099m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04295146--0.04275971) × cos(1.17765956) × R
    0.000191749999999997 × 0.383087763999222 × 6371000     		do = 467.995048696181m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04295146--0.04275971) × cos(1.17758610) × R
    0.000191749999999997 × 0.383155618845307 × 6371000     		du = 468.07794283946m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17765956)-sin(1.17758610))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.383087763999222-0.383155618845307)×R²
    abs(-0.04275971--0.04295146)×6.7854846084292e-05×R²
    0.000191749999999997×6.7854846084292e-05×6371000²
    0.000191749999999997×6.7854846084292e-05×40589641000000     		ar = 219047.47349611m²