Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16158 / 19393
↖ ↑ ↗
← S 31.363019°
W  2.482910°		 ← 1 043.14 m → S 31.363019°
W  2.471924°		 →
↑
1 043.06 m
↓
↑
1 043.06 m
↓
S 31.372399°
W  2.482910°		 ← 1 043.04 m →
1 088 005 m²		 S 31.372399°
W  2.471924°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16158 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19393 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.493118286132812 y=0.591842651367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.493118286132812 × 215)
    floor (0.493118286132812 × 32768)
    floor (16158.5)     		tx = 16158
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.591842651367188 × 215)
    floor (0.591842651367188 × 32768)
    floor (19393.5)     		ty = 19393
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16158 / 19393 ti = "15/16158/19393"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16158/19393.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16158 ÷ 215
    16158 ÷ 32768     		x = 0.49310302734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19393 ÷ 215
    19393 ÷ 32768     		y = 0.591827392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49310302734375 × 2 - 1) × π
    -0.0137939453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.04333496
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.591827392578125 × 2 - 1) × π
    -0.18365478515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.576968523826996
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04333496} λ = -0.04333496}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.576968523826996))-π/2
    2×atan(0.561598260414986)-π/2
    2×0.511704195386041-π/2
    1.02340839077208-1.57079632675     		φ = -0.54738794
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04333496} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.482910°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54738794 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.363019°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16158 KachelY 19393 -0.04333496 -0.54738794 -2.482910 -31.363019
    Oben rechts KachelX + 1 16159 KachelY 19393 -0.04314321 -0.54738794 -2.471924 -31.363019
    Unten links KachelX 16158 KachelY + 1 19394 -0.04333496 -0.54755166 -2.482910 -31.372399
    Unten rechts KachelX + 1 16159 KachelY + 1 19394 -0.04314321 -0.54755166 -2.471924 -31.372399
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54738794--0.54755166) × R
    0.000163719999999978 × 6371000     		dl = 1043.06011999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54738794--0.54755166) × R
    0.000163719999999978 × 6371000     		dr = 1043.06011999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04333496--0.04314321) × cos(-0.54738794) × R
    0.000191749999999997 × 0.85388690258519 × 6371000     		do = 1043.14175525898m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04333496--0.04314321) × cos(-0.54755166) × R
    0.000191749999999997 × 0.853801681659168 × 6371000     		du = 1043.03764603083m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54738794)-sin(-0.54755166))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.85388690258519-0.853801681659168)×R²
    abs(-0.04314321--0.04333496)×8.52209260212566e-05×R²
    0.000191749999999997×8.52209260212566e-05×6371000²
    0.000191749999999997×8.52209260212566e-05×40589641000000     		ar = 1088005.27075575m²