Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16156 / 19372
↖ ↑ ↗
← S 31.165810°
W  2.504883°		 ← 1 045.32 m → S 31.165810°
W  2.493896°		 →
↑
1 045.29 m
↓
↑
1 045.29 m
↓
S 31.175210°
W  2.504883°		 ← 1 045.22 m →
1 092 612 m²		 S 31.175210°
W  2.493896°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16156 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19372 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.493057250976562 y=0.591201782226562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.493057250976562 × 215)
    floor (0.493057250976562 × 32768)
    floor (16156.5)     		tx = 16156
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.591201782226562 × 215)
    floor (0.591201782226562 × 32768)
    floor (19372.5)     		ty = 19372
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16156 / 19372 ti = "15/16156/19372"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16156/19372.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16156 ÷ 215
    16156 ÷ 32768     		x = 0.4930419921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19372 ÷ 215
    19372 ÷ 32768     		y = 0.5911865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4930419921875 × 2 - 1) × π
    -0.013916015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.04371845
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5911865234375 × 2 - 1) × π
    -0.182373046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.572941824258911
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04371845} λ = -0.04371845}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.572941824258911))-π/2
    2×atan(0.563864206968912)-π/2
    2×0.51342516772555-π/2
    1.0268503354511-1.57079632675     		φ = -0.54394599
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04371845} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.504883°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54394599 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.165810°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16156 KachelY 19372 -0.04371845 -0.54394599 -2.504883 -31.165810
    Oben rechts KachelX + 1 16157 KachelY 19372 -0.04352670 -0.54394599 -2.493896 -31.165810
    Unten links KachelX 16156 KachelY + 1 19373 -0.04371845 -0.54411006 -2.504883 -31.175210
    Unten rechts KachelX + 1 16157 KachelY + 1 19373 -0.04352670 -0.54411006 -2.493896 -31.175210
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54394599--0.54411006) × R
    0.000164069999999961 × 6371000     		dl = 1045.28996999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54394599--0.54411006) × R
    0.000164069999999961 × 6371000     		dr = 1045.28996999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04371845--0.04352670) × cos(-0.54394599) × R
    0.000191749999999997 × 0.855673233534667 × 6371000     		do = 1045.32400726035m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04371845--0.04352670) × cos(-0.54411006) × R
    0.000191749999999997 × 0.855588313087616 × 6371000     		du = 1045.22026510911m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54394599)-sin(-0.54411006))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.855673233534667-0.855588313087616)×R²
    abs(-0.04352670--0.04371845)×8.49204470506626e-05×R²
    0.000191749999999997×8.49204470506626e-05×6371000²
    0.000191749999999997×8.49204470506626e-05×40589641000000     		ar = 1092612.48232536m²