Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16155 / 18861
↖ ↑ ↗
← S 26.244156°
W  2.515869°		 ← 1 095.71 m → S 26.244156°
W  2.504883°		 →
↑
1 095.62 m
↓
↑
1 095.62 m
↓
S 26.254010°
W  2.515869°		 ← 1 095.62 m →
1 200 432 m²		 S 26.254010°
W  2.504883°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16155 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18861 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.493026733398438 y=0.575607299804688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.493026733398438 × 215)
    floor (0.493026733398438 × 32768)
    floor (16155.5)     		tx = 16155
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.575607299804688 × 215)
    floor (0.575607299804688 × 32768)
    floor (18861.5)     		ty = 18861
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16155 / 18861 ti = "15/16155/18861"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16155/18861.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16155 ÷ 215
    16155 ÷ 32768     		x = 0.493011474609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18861 ÷ 215
    18861 ÷ 32768     		y = 0.575592041015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.493011474609375 × 2 - 1) × π
    -0.01397705078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.04391020
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.575592041015625 × 2 - 1) × π
    -0.15118408203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.474958801435516
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04391020} λ = -0.04391020}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.474958801435516))-π/2
    2×atan(0.621910677764397)-π/2
    2×0.55637469512261-π/2
    1.11274939024522-1.57079632675     		φ = -0.45804694
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04391020} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.515869°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.45804694 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.244156°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16155 KachelY 18861 -0.04391020 -0.45804694 -2.515869 -26.244156
    Oben rechts KachelX + 1 16156 KachelY 18861 -0.04371845 -0.45804694 -2.504883 -26.244156
    Unten links KachelX 16155 KachelY + 1 18862 -0.04391020 -0.45821891 -2.515869 -26.254010
    Unten rechts KachelX + 1 16156 KachelY + 1 18862 -0.04371845 -0.45821891 -2.504883 -26.254010
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.45804694--0.45821891) × R
    0.000171969999999966 × 6371000     		dl = 1095.62086999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.45804694--0.45821891) × R
    0.000171969999999966 × 6371000     		dr = 1095.62086999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04391020--0.04371845) × cos(-0.45804694) × R
    0.000191750000000004 × 0.896917845293884 × 6371000     		do = 1095.71004383646m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04391020--0.04371845) × cos(-0.45821891) × R
    0.000191750000000004 × 0.896841787376256 × 6371000     		du = 1095.61712849901m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.45804694)-sin(-0.45821891))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.896917845293884-0.896841787376256)×R²
    abs(-0.04371845--0.04391020)×7.60579176274367e-05×R²
    0.000191750000000004×7.60579176274367e-05×6371000²
    0.000191750000000004×7.60579176274367e-05×40589641000000     		ar = 1200431.89446247m²