Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16154 / 18859
↖ ↑ ↗
← S 26.224447°
W  2.526856°		 ← 1 095.90 m → S 26.224447°
W  2.515869°		 →
↑
1 095.88 m
↓
↑
1 095.88 m
↓
S 26.234302°
W  2.526856°		 ← 1 095.80 m →
1 200 915 m²		 S 26.234302°
W  2.515869°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16154 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18859 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492996215820312 y=0.575546264648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492996215820312 × 215)
    floor (0.492996215820312 × 32768)
    floor (16154.5)     		tx = 16154
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.575546264648438 × 215)
    floor (0.575546264648438 × 32768)
    floor (18859.5)     		ty = 18859
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16154 / 18859 ti = "15/16154/18859"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16154/18859.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16154 ÷ 215
    16154 ÷ 32768     		x = 0.49298095703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18859 ÷ 215
    18859 ÷ 32768     		y = 0.575531005859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49298095703125 × 2 - 1) × π
    -0.0140380859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.04410195
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.575531005859375 × 2 - 1) × π
    -0.15106201171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.474575306238556
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04410195} λ = -0.04410195}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.474575306238556))-π/2
    2×atan(0.62214922325986)-π/2
    2×0.556546691545588-π/2
    1.11309338309118-1.57079632675     		φ = -0.45770294
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04410195} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.526856°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.45770294 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.224447°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16154 KachelY 18859 -0.04410195 -0.45770294 -2.526856 -26.224447
    Oben rechts KachelX + 1 16155 KachelY 18859 -0.04391020 -0.45770294 -2.515869 -26.224447
    Unten links KachelX 16154 KachelY + 1 18860 -0.04410195 -0.45787495 -2.526856 -26.234302
    Unten rechts KachelX + 1 16155 KachelY + 1 18860 -0.04391020 -0.45787495 -2.515869 -26.234302
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.45770294--0.45787495) × R
    0.00017201 × 6371000     		dl = 1095.87571m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.45770294--0.45787495) × R
    0.00017201 × 6371000     		dr = 1095.87571m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04410195--0.04391020) × cos(-0.45770294) × R
    0.000191749999999997 × 0.897069908064725 × 6371000     		do = 1095.89580968575m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04410195--0.04391020) × cos(-0.45787495) × R
    0.000191749999999997 × 0.896993885527208 × 6371000     		du = 1095.80293757003m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.45770294)-sin(-0.45787495))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.897069908064725-0.896993885527208)×R²
    abs(-0.04391020--0.04410195)×7.60225375163737e-05×R²
    0.000191749999999997×7.60225375163737e-05×6371000²
    0.000191749999999997×7.60225375163737e-05×40589641000000     		ar = 1200914.71333847m²