Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16153 / 18858
↖ ↑ ↗
← S 26.214591°
W  2.537842°		 ← 1 095.99 m → S 26.214591°
W  2.526856°		 →
↑
1 095.88 m
↓
↑
1 095.88 m
↓
S 26.224447°
W  2.537842°		 ← 1 095.90 m →
1 201 016 m²		 S 26.224447°
W  2.526856°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16153 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18858 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492965698242188 y=0.575515747070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492965698242188 × 215)
    floor (0.492965698242188 × 32768)
    floor (16153.5)     		tx = 16153
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.575515747070312 × 215)
    floor (0.575515747070312 × 32768)
    floor (18858.5)     		ty = 18858
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16153 / 18858 ti = "15/16153/18858"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16153/18858.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16153 ÷ 215
    16153 ÷ 32768     		x = 0.492950439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18858 ÷ 215
    18858 ÷ 32768     		y = 0.57550048828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.492950439453125 × 2 - 1) × π
    -0.01409912109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.04429370
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.57550048828125 × 2 - 1) × π
    -0.1510009765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.474383558640076
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04429370} λ = -0.04429370}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.474383558640076))-π/2
    2×atan(0.622268530317372)-π/2
    2×0.55663270068905-π/2
    1.1132654013781-1.57079632675     		φ = -0.45753093
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04429370} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.537842°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.45753093 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.214591°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16153 KachelY 18858 -0.04429370 -0.45753093 -2.537842 -26.214591
    Oben rechts KachelX + 1 16154 KachelY 18858 -0.04410195 -0.45753093 -2.526856 -26.214591
    Unten links KachelX 16153 KachelY + 1 18859 -0.04429370 -0.45770294 -2.537842 -26.224447
    Unten rechts KachelX + 1 16154 KachelY + 1 18859 -0.04410195 -0.45770294 -2.526856 -26.224447
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.45753093--0.45770294) × R
    0.00017201 × 6371000     		dl = 1095.87571m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.45753093--0.45770294) × R
    0.00017201 × 6371000     		dr = 1095.87571m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04429370--0.04410195) × cos(-0.45753093) × R
    0.000191749999999997 × 0.897145904060239 × 6371000     		do = 1095.98864937671m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04429370--0.04410195) × cos(-0.45770294) × R
    0.000191749999999997 × 0.897069908064725 × 6371000     		du = 1095.89580968575m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.45753093)-sin(-0.45770294))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.897145904060239-0.897069908064725)×R²
    abs(-0.04410195--0.04429370)×7.5995995514222e-05×R²
    0.000191749999999997×7.5995995514222e-05×6371000²
    0.000191749999999997×7.5995995514222e-05×40589641000000     		ar = 1201016.47186747m²