Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16152 / 6900
↖ ↑ ↗
← N 71.566641°
W  2.548828°		 ← 386.26 m → N 71.566641°
W  2.537842°		 →
↑
386.27 m
↓
↑
386.27 m
↓
N 71.563167°
W  2.548828°		 ← 386.33 m →
149 217 m²		 N 71.563167°
W  2.537842°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16152 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6900 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492935180664062 y=0.210586547851562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492935180664062 × 215)
    floor (0.492935180664062 × 32768)
    floor (16152.5)     		tx = 16152
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.210586547851562 × 215)
    floor (0.210586547851562 × 32768)
    floor (6900.5)     		ty = 6900
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16152 / 6900 ti = "15/16152/6900"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16152/6900.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16152 ÷ 215
    16152 ÷ 32768     		x = 0.492919921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6900 ÷ 215
    6900 ÷ 32768     		y = 0.2105712890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.492919921875 × 2 - 1) × π
    -0.01416015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.04448544
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2105712890625 × 2 - 1) × π
    0.578857421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.81853422398645
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04448544} λ = -0.04448544}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.81853422398645))-π/2
    2×atan(6.1628185146873)-π/2
    2×1.409934925845-π/2
    2.81986985169-1.57079632675     		φ = 1.24907352
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04448544} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.548828°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24907352 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.566641°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16152 KachelY 6900 -0.04448544 1.24907352 -2.548828 71.566641
    Oben rechts KachelX + 1 16153 KachelY 6900 -0.04429370 1.24907352 -2.537842 71.566641
    Unten links KachelX 16152 KachelY + 1 6901 -0.04448544 1.24901289 -2.548828 71.563167
    Unten rechts KachelX + 1 16153 KachelY + 1 6901 -0.04429370 1.24901289 -2.537842 71.563167
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24907352-1.24901289) × R
    6.0630000000117e-05 × 6371000     		dl = 386.273730000745m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24907352-1.24901289) × R
    6.0630000000117e-05 × 6371000     		dr = 386.273730000745m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04448544--0.04429370) × cos(1.24907352) × R
    0.000191740000000003 × 0.316201442208768 × 6371000     		do = 386.26394751496m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04448544--0.04429370) × cos(1.24901289) × R
    0.000191740000000003 × 0.316258960827895 × 6371000     		du = 386.33421085318m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24907352)-sin(1.24901289))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.316201442208768-0.316258960827895)×R²
    abs(-0.04429370--0.04448544)×5.75186191274502e-05×R²
    0.000191740000000003×5.75186191274502e-05×6371000²
    0.000191740000000003×5.75186191274502e-05×40589641000000     		ar = 149217.186257895m²