Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16151 / 6886
↖ ↑ ↗
← N 71.615214°
W  2.559814°		 ← 385.30 m → N 71.615214°
W  2.548828°		 →
↑
385.38 m
↓
↑
385.38 m
↓
N 71.611748°
W  2.559814°		 ← 385.37 m →
148 502 m²		 N 71.611748°
W  2.548828°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16151 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6886 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492904663085938 y=0.210159301757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492904663085938 × 215)
    floor (0.492904663085938 × 32768)
    floor (16151.5)     		tx = 16151
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.210159301757812 × 215)
    floor (0.210159301757812 × 32768)
    floor (6886.5)     		ty = 6886
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16151 / 6886 ti = "15/16151/6886"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16151/6886.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16151 ÷ 215
    16151 ÷ 32768     		x = 0.492889404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6886 ÷ 215
    6886 ÷ 32768     		y = 0.21014404296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.492889404296875 × 2 - 1) × π
    -0.01422119140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.04467719
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21014404296875 × 2 - 1) × π
    0.5797119140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.82121869036517
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04467719} λ = -0.04467719}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.82121869036517))-π/2
    2×atan(6.1793846194153)-π/2
    2×1.41035880187973-π/2
    2.82071760375945-1.57079632675     		φ = 1.24992128
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04467719} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.559814°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24992128 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.615214°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16151 KachelY 6886 -0.04467719 1.24992128 -2.559814 71.615214
    Oben rechts KachelX + 1 16152 KachelY 6886 -0.04448544 1.24992128 -2.548828 71.615214
    Unten links KachelX 16151 KachelY + 1 6887 -0.04467719 1.24986079 -2.559814 71.611748
    Unten rechts KachelX + 1 16152 KachelY + 1 6887 -0.04448544 1.24986079 -2.548828 71.611748
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24992128-1.24986079) × R
    6.04899999998576e-05 × 6371000     		dl = 385.381789999093m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24992128-1.24986079) × R
    6.04899999998576e-05 × 6371000     		dr = 385.381789999093m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04467719--0.04448544) × cos(1.24992128) × R
    0.000191749999999997 × 0.315397065487426 × 6371000     		do = 385.301434534255m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04467719--0.04448544) × cos(1.24986079) × R
    0.000191749999999997 × 0.31545446748832 × 6371000     		du = 385.371559071575m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24992128)-sin(1.24986079))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.315397065487426-0.31545446748832)×R²
    abs(-0.04448544--0.04467719)×5.74020008931031e-05×R²
    0.000191749999999997×5.74020008931031e-05×6371000²
    0.000191749999999997×5.74020008931031e-05×40589641000000     		ar = 148501.668934936m²