Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16150 / 6915
↖ ↑ ↗
← N 71.514462°
W  2.570801°		 ← 387.34 m → N 71.514462°
W  2.559814°		 →
↑
387.36 m
↓
↑
387.36 m
↓
N 71.510978°
W  2.570801°		 ← 387.41 m →
150 052 m²		 N 71.510978°
W  2.559814°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16150 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6915 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492874145507812 y=0.211044311523438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492874145507812 × 215)
    floor (0.492874145507812 × 32768)
    floor (16150.5)     		tx = 16150
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.211044311523438 × 215)
    floor (0.211044311523438 × 32768)
    floor (6915.5)     		ty = 6915
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16150 / 6915 ti = "15/16150/6915"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16150/6915.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16150 ÷ 215
    16150 ÷ 32768     		x = 0.49285888671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6915 ÷ 215
    6915 ÷ 32768     		y = 0.211029052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49285888671875 × 2 - 1) × π
    -0.0142822265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.04486894
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.211029052734375 × 2 - 1) × π
    0.57794189453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.81565801000925
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04486894} λ = -0.04486894}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.81565801000925))-π/2
    2×atan(6.14511839680179)-π/2
    2×1.40947957344647-π/2
    2.81895914689294-1.57079632675     		φ = 1.24816282
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04486894} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.570801°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24816282 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.514462°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16150 KachelY 6915 -0.04486894 1.24816282 -2.570801 71.514462
    Oben rechts KachelX + 1 16151 KachelY 6915 -0.04467719 1.24816282 -2.559814 71.514462
    Unten links KachelX 16150 KachelY + 1 6916 -0.04486894 1.24810202 -2.570801 71.510978
    Unten rechts KachelX + 1 16151 KachelY + 1 6916 -0.04467719 1.24810202 -2.559814 71.510978
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24816282-1.24810202) × R
    6.0799999999972e-05 × 6371000     		dl = 387.356799999822m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24816282-1.24810202) × R
    6.0799999999972e-05 × 6371000     		dr = 387.356799999822m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04486894--0.04467719) × cos(1.24816282) × R
    0.000191750000000004 × 0.317065284834841 × 6371000     		do = 387.339396766681m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04486894--0.04467719) × cos(1.24810202) × R
    0.000191750000000004 × 0.317122947194593 × 6371000     		du = 387.409839368601m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24816282)-sin(1.24810202))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.317065284834841-0.317122947194593)×R²
    abs(-0.04467719--0.04486894)×5.76623597511317e-05×R²
    0.000191750000000004×5.76623597511317e-05×6371000²
    0.000191750000000004×5.76623597511317e-05×40589641000000     		ar = 150052.192502227m²