Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16149 / 6913
↖ ↑ ↗
← N 71.521427°
W  2.581787°		 ← 387.20 m → N 71.521427°
W  2.570801°		 →
↑
387.23 m
↓
↑
387.23 m
↓
N 71.517945°
W  2.581787°		 ← 387.27 m →
149 948 m²		 N 71.517945°
W  2.570801°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16149 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6913 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492843627929688 y=0.210983276367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492843627929688 × 215)
    floor (0.492843627929688 × 32768)
    floor (16149.5)     		tx = 16149
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.210983276367188 × 215)
    floor (0.210983276367188 × 32768)
    floor (6913.5)     		ty = 6913
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16149 / 6913 ti = "15/16149/6913"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16149/6913.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16149 ÷ 215
    16149 ÷ 32768     		x = 0.492828369140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6913 ÷ 215
    6913 ÷ 32768     		y = 0.210968017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.492828369140625 × 2 - 1) × π
    -0.01434326171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.04506069
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.210968017578125 × 2 - 1) × π
    0.57806396484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.81604150520621
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04506069} λ = -0.04506069}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.81604150520621))-π/2
    2×atan(6.14747547212637)-π/2
    2×1.40954035889847-π/2
    2.81908071779695-1.57079632675     		φ = 1.24828439
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04506069} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.581787°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24828439 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.521427°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16149 KachelY 6913 -0.04506069 1.24828439 -2.581787 71.521427
    Oben rechts KachelX + 1 16150 KachelY 6913 -0.04486894 1.24828439 -2.570801 71.521427
    Unten links KachelX 16149 KachelY + 1 6914 -0.04506069 1.24822361 -2.581787 71.517945
    Unten rechts KachelX + 1 16150 KachelY + 1 6914 -0.04486894 1.24822361 -2.570801 71.517945
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24828439-1.24822361) × R
    6.07800000000935e-05 × 6371000     		dl = 387.229380000596m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24828439-1.24822361) × R
    6.07800000000935e-05 × 6371000     		dr = 387.229380000596m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04506069--0.04486894) × cos(1.24828439) × R
    0.000191749999999997 × 0.316949985052591 × 6371000     		do = 387.198542027154m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04506069--0.04486894) × cos(1.24822361) × R
    0.000191749999999997 × 0.317007630787244 × 6371000     		du = 387.2689643192m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24828439)-sin(1.24822361))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.316949985052591-0.317007630787244)×R²
    abs(-0.04486894--0.04506069)×5.76457346526671e-05×R²
    0.000191749999999997×5.76457346526671e-05×6371000²
    0.000191749999999997×5.76457346526671e-05×40589641000000     		ar = 149948.286202793m²