Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16148 / 6916
↖ ↑ ↗
← N 71.510978°
W  2.592773°		 ← 387.39 m → N 71.510978°
W  2.581787°		 →
↑
387.42 m
↓
↑
387.42 m
↓
N 71.507494°
W  2.592773°		 ← 387.46 m →
150 096 m²		 N 71.507494°
W  2.581787°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16148 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6916 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492813110351562 y=0.211074829101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492813110351562 × 215)
    floor (0.492813110351562 × 32768)
    floor (16148.5)     		tx = 16148
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.211074829101562 × 215)
    floor (0.211074829101562 × 32768)
    floor (6916.5)     		ty = 6916
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16148 / 6916 ti = "15/16148/6916"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16148/6916.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16148 ÷ 215
    16148 ÷ 32768     		x = 0.4927978515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6916 ÷ 215
    6916 ÷ 32768     		y = 0.2110595703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4927978515625 × 2 - 1) × π
    -0.014404296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.04525243
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2110595703125 × 2 - 1) × π
    0.577880859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.81546626241077
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04525243} λ = -0.04525243}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.81546626241077))-π/2
    2×atan(6.14394019806883)-π/2
    2×1.40944917242884-π/2
    2.81889834485768-1.57079632675     		φ = 1.24810202
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04525243} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.592773°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24810202 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.510978°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16148 KachelY 6916 -0.04525243 1.24810202 -2.592773 71.510978
    Oben rechts KachelX + 1 16149 KachelY 6916 -0.04506069 1.24810202 -2.581787 71.510978
    Unten links KachelX 16148 KachelY + 1 6917 -0.04525243 1.24804121 -2.592773 71.507494
    Unten rechts KachelX + 1 16149 KachelY + 1 6917 -0.04506069 1.24804121 -2.581787 71.507494
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24810202-1.24804121) × R
    6.08099999999112e-05 × 6371000     		dl = 387.420509999434m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24810202-1.24804121) × R
    6.08099999999112e-05 × 6371000     		dr = 387.420509999434m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04525243--0.04506069) × cos(1.24810202) × R
    0.000191740000000003 × 0.317122947194593 × 6371000     		do = 387.389635465631m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04525243--0.04506069) × cos(1.24804121) × R
    0.000191740000000003 × 0.317180617865706 × 6371000     		du = 387.460084546839m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24810202)-sin(1.24804121))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.317122947194593-0.317180617865706)×R²
    abs(-0.04506069--0.04525243)×5.76706711131747e-05×R²
    0.000191740000000003×5.76706711131747e-05×6371000²
    0.000191740000000003×5.76706711131747e-05×40589641000000     		ar = 150096.336895995m²