Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16147 / 6899
↖ ↑ ↗
← N 71.570115°
W  2.603760°		 ← 386.21 m → N 71.570115°
W  2.592773°		 →
↑
386.27 m
↓
↑
386.27 m
↓
N 71.566641°
W  2.603760°		 ← 386.28 m →
149 198 m²		 N 71.566641°
W  2.592773°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16147 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6899 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492782592773438 y=0.210556030273438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492782592773438 × 215)
    floor (0.492782592773438 × 32768)
    floor (16147.5)     		tx = 16147
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.210556030273438 × 215)
    floor (0.210556030273438 × 32768)
    floor (6899.5)     		ty = 6899
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16147 / 6899 ti = "15/16147/6899"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16147/6899.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16147 ÷ 215
    16147 ÷ 32768     		x = 0.492767333984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6899 ÷ 215
    6899 ÷ 32768     		y = 0.210540771484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.492767333984375 × 2 - 1) × π
    -0.01446533203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.04544418
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.210540771484375 × 2 - 1) × π
    0.57891845703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.81872597158493
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04544418} λ = -0.04544418}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.81872597158493))-π/2
    2×atan(6.16400033363921)-π/2
    2×1.40996523852096-π/2
    2.81993047704192-1.57079632675     		φ = 1.24913415
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04544418} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.603760°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24913415 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.570115°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16147 KachelY 6899 -0.04544418 1.24913415 -2.603760 71.570115
    Oben rechts KachelX + 1 16148 KachelY 6899 -0.04525243 1.24913415 -2.592773 71.570115
    Unten links KachelX 16147 KachelY + 1 6900 -0.04544418 1.24907352 -2.603760 71.566641
    Unten rechts KachelX + 1 16148 KachelY + 1 6900 -0.04525243 1.24907352 -2.592773 71.566641
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24913415-1.24907352) × R
    6.06299999998949e-05 × 6371000     		dl = 386.273729999331m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24913415-1.24907352) × R
    6.06299999998949e-05 × 6371000     		dr = 386.273729999331m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04544418--0.04525243) × cos(1.24913415) × R
    0.000191749999999997 × 0.316143922427285 × 6371000     		do = 386.213824286121m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04544418--0.04525243) × cos(1.24907352) × R
    0.000191749999999997 × 0.316201442208768 × 6371000     		du = 386.284092708832m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24913415)-sin(1.24907352))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.316143922427285-0.316201442208768)×R²
    abs(-0.04525243--0.04544418)×5.75197814828288e-05×R²
    0.000191749999999997×5.75197814828288e-05×6371000²
    0.000191749999999997×5.75197814828288e-05×40589641000000     		ar = 149197.825952156m²