Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16145 / 6923
↖ ↑ ↗
← N 71.486574°
W  2.625733°		 ← 387.90 m → N 71.486574°
W  2.614746°		 →
↑
387.93 m
↓
↑
387.93 m
↓
N 71.483085°
W  2.625733°		 ← 387.97 m →
150 493 m²		 N 71.483085°
W  2.614746°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16145 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6923 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492721557617188 y=0.211288452148438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492721557617188 × 215)
    floor (0.492721557617188 × 32768)
    floor (16145.5)     		tx = 16145
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.211288452148438 × 215)
    floor (0.211288452148438 × 32768)
    floor (6923.5)     		ty = 6923
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16145 / 6923 ti = "15/16145/6923"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16145/6923.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16145 ÷ 215
    16145 ÷ 32768     		x = 0.492706298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6923 ÷ 215
    6923 ÷ 32768     		y = 0.211273193359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.492706298828125 × 2 - 1) × π
    -0.01458740234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.04582768
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.211273193359375 × 2 - 1) × π
    0.57745361328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.81412402922141
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04582768} λ = -0.04582768}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.81412402922141))-π/2
    2×atan(6.13569912957661)-π/2
    2×1.40923621044508-π/2
    2.81847242089015-1.57079632675     		φ = 1.24767609
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04582768} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.625733°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24767609 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.486574°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16145 KachelY 6923 -0.04582768 1.24767609 -2.625733 71.486574
    Oben rechts KachelX + 1 16146 KachelY 6923 -0.04563593 1.24767609 -2.614746 71.486574
    Unten links KachelX 16145 KachelY + 1 6924 -0.04582768 1.24761520 -2.625733 71.483085
    Unten rechts KachelX + 1 16146 KachelY + 1 6924 -0.04563593 1.24761520 -2.614746 71.483085
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24767609-1.24761520) × R
    6.08899999998691e-05 × 6371000     		dl = 387.930189999166m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24767609-1.24761520) × R
    6.08899999998691e-05 × 6371000     		dr = 387.930189999166m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04582768--0.04563593) × cos(1.24767609) × R
    0.000191750000000004 × 0.317526863799091 × 6371000     		do = 387.903279746382m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04582768--0.04563593) × cos(1.24761520) × R
    0.000191750000000004 × 0.317584602108883 × 6371000     		du = 387.973815131853m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24767609)-sin(1.24761520))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.317526863799091-0.317584602108883)×R²
    abs(-0.04563593--0.04582768)×5.77383097924988e-05×R²
    0.000191750000000004×5.77383097924988e-05×6371000²
    0.000191750000000004×5.77383097924988e-05×40589641000000     		ar = 150493.074462539m²